ユークリッド的 ミンコフスキー的 ベクトル空間 ユークリッド空間 ミンコフスキー空間 内積 ユークリッド内積 ミンコフスキー内積 内積保存変換 直交変換 ローレンツ変換 アフィン変換 ？ ポアンカレ変換 多様体 リーマン多様体 ローレンツ多様体 ユークリッ…

参考： https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%B7%E3%83%AB%E3%83%88%E8%A7%A3 M ローレンツ多様体 R×(R3＼{0}) Mを埋め込める空間、あまり重要じゃない、つうか、埋め込む必然性はないが。 R×R>0×I×J 局所座…

主座標、主方向：n次元ムーア矩形のn番目の座標、方向 始面：主座標値が0である(n-1)-面 終面：主座標値が最大値である(n-1)-面 側面：始面と終面以外の境界面 恒等：主方向に関して定数である特異矩形／球体 退化：主方向がゼロ幅である矩形や特異矩形

R = [0, r1]×...×[0, rn] をムーア矩形として、R|0 := [0, r1]×...×[0, rn-1]×{0} とする。始点、底辺、底面（床）の意味になる。∂(R|0) は底面矩形の境界になる。∂(R|0)×[0, rn] をRの側面と呼ぶ。側面での値が、底面矩形∂(R|0)での値の自明拡張になってい…

点列の収束／極限などの概念を特別扱いせずに、位相空間と連続写像の一般論に吸収したほうがいいと思う。離散空間Nとコンパクト空間N∞のペアを考えて、連続写像が拡張可能かどうかを考える話になる。部分空間で定義された連続写像を、親の空間全体に拡張する…

参考までに言葉： exterior derivative 外微分 exterior differential calculus 外微分解析 discrete exterior calculus 離散外解析 vector calculus ベクトル解析 各種の外微分作用素〈exterior derivative〉の名前は、gradient, curl, vortex, attraction,…

「ド・ラーム・コホモロジーとホッジ分解のオモチャ (1/2) // ラプラシアンとラプラス方程式」より： 一般化されたラプラス方程式の k = 1 のときは、ベクトル解析の言葉で書くなら次のようになるようです。 curl curl X - grad div X = 0 k = 1 のときの一…

Tが有極集合チーム〈polarized set team〉とは、¬:T→T と P:T→{+, -} と、IごとのσI:I→¬I があって、 I, J∈T ⇒ I∩J = 空集合 --- 無共分 ¬は不動点を持たない対合である。 --- ¬の対蹠性 P(I) = '+' ⇒ P(¬I) = '-', P(I) = '-' ⇒ P(¬I) = '+' --- 反転性 (σI…

不動点を持たない対合を対蹠オペレータ〈antipodal operator〉、あるいは単に対蹠と呼ぶ。集合Aが対蹠 ¬:A→A と、極性 p:A→{+, -} を持ち、 p(¬a) = -(p(a)) が成立するとする。AのクリーネスターA＊に、対蹠を拡張する。 ¬[a1, ..., ,an] := [¬an, ..., ¬a1…

ネームとコネームに関しては、 コンパクト閉圏と絵算で理解する線形代数とシーケント計算（入り口だけ） - 檜山正幸のキマイラ飼育記 アブラムスキーのネームとかフリップとか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 コンパクト閉圏と絵算で理解する線形代数とシーケン…

index structure for vector spaces 𝒮はベクトル空間の有限集合（空でもよい） ℬは、𝒮の空間と、その双対空間、I, I* を入れた集まり。Iは単位空間。 ℐは集合の集合 ¬:ℐ→ℐ p:ℐ→{+, -} S:ℐ→ℬ β:ℐ→Mor(Vect)、ℐの要素に線形写像を対応させるのがβ 𝒮の要素を、…

シリーズ記事として丁寧に読むといいよ。我ながら面白いこと書いている。 ラムダ計算とイプシロン計算を使って線形代数の計算 -- 随伴の例 ベクトル空間の二重の双対はどうなるか 片側非退化性から両側非退化性を導く 2つのベクトルとコベクトルの三位一体 …

二分法〈dichotomy〉とその値 ゼロ・イチ イチ・ニ 正・負 真・偽 上・下 左・右 南・北 東・西 up・down top・bottom super・sub 優・劣 主・副 主要・双対 共・反 ＿・非 ＿・反 ＿・双対 0・1 T・F +・- T・⊥ 組をどう言うか 対 ペア コンビ デュオ 三つ…

モノイド圏の対象をベクトル空間と考えるとき、モノイド単位対象を単位空間〈unit space〉と呼ぶことにする。極めて重要なことは、 単位空間はスカラー体ではない！ スカラー体とは、単位空間のEndセットのことである。Iを単位空間として、 S := End(I) した…

コベクトルに関して言及しているところ。今でも参考になる。再読するヨロシ。 古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化： ダイレクトインデックス記法 http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20180720/1532082069#id2018_covector-components ド・ラーム・コホモロ…

古式テンソル〈old-style tensor〉 極性付き複行列 非モダンテンソル〈nonmodern tensor〉 混合テンソル代数の要素 モダンテンソル〈modern tensor〉 テンソルの多圏の射 行列を極性付き複行列に埋め込むには、Mat(A, B) → MMat(B, A#) を使う。全体的に絵図…

a:I→X がindexed basisだとは、aの線形拡張a~が全単射線形写像になること。 Iをindex set、aをindexingと呼ぶ。 IがXの部分集合で、aが包含写像のとき、self indexingまたはdirect indexingと呼ぶ。 IとJのあいだに集合同型 s:I→J があって、<:b(s(j))|a(i)> = δ(i, j) が成</:b(s(j))|a(i)>…

テンソル積空間を特徴づける双線形 τ:X×Y→XY を構造写像と呼ぶ。 XY, τ(x, y), τ(A×B) に同じ記号（xy, AY）が使われる。概念的に区別せよ。 双対基底、双対フレームが、「双対ではない」ことを強く注意すべき。 双対フレーム{射}?は、フレーム射の双対の逆…

ホワイトボードに書いたヤツ。早くテキスト化しないと忘れる。なるべく早くにテキスト付ける。 上段 左の上の縦列 下から上に Lin(Rn, X)→Xn→Pow(X) Lin(Rn, X)→Xn の横に書いてあるのは読めないが、標準的な同型。Xn = Map([n], R) とすれば、Xn→Lin(Rn, X)…

領域＝ユークリッド空間の開集合に対して、エンブレムタプル (x1, ..., xn) が決まる。エンブレムタプルの成分をエンブレム成分と呼ぶ。エンブレム成分xiの使い方を列挙すると： 自由変数の成分 推奨されるラムダ変数（束縛変数） 座標ラベル（軸または方向…

日本語 英語短縮形 もっと短く なめらかな関数 SmthFun C∞, Ω1 ベクトル場 VectFld Ξ 微分作用素 DiffOpr Ξ 微分形式 DiffFrm Ω1 外微分の基本公式 d(fx) = Σ(Di[f]・dxi) = Σ(f;i・dxi) ここで、xは座標写像で、xiは座標成分関数。ナカグロは、微分形式と関…

lociはlocusの複数形。 locus 英語だとローカスに近い。 loci 英語だとローカイ。ラテン語だとロキに近い。 で、代数〈algebra | 多元環〉の圏の反対圏〈形式的双対 | formal dual〉をlocus〈軌跡〉の圏と呼ぶことがあるようだ。具体的には、 smooth代数の圏…

Fが空間X上の前層／層のとき、抽象的な定義でも具体的な言葉を使う。便利なんだが、混乱することもある。 切断 ： F(U)の要素のこと。Uは単に開集合で、特にバンドルがあるわけでもない。感じとしては、F(U) = Γ(E|U) のような状況を想定して、バンドルEには…

古典的微分幾何・ベクトル解析のモダン化： ラムダ記法の利用 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 チャート＝局所座標は部分写像として定義するつもりだが、部分写像の圏のホムセット Partial(X, Y) がある種のミート半束になるのが重要。部分的に定義されたミート…

メリット： セル形状が自由 直積の構成が極めて簡単 細分の定義が極めて簡単 台空間が多様体である必要はない（例：アフィン幾何グラフ） 近似の精度を評価できる。 目標は： 圏論的に扱いやすい〈categorically tractable〉 カスタマイズが容易〈easily cus…

n, m∈N に対して、 AL(n, m) := Mat(n, m)×Rm と定義する。ここで、 Mat(n, m)は、m行n列の行列の全体 Mat(n, m) Rm×n (a, b)∈AL(n, m), (a', b')∈AL(m, k) として、 (a, b);(a', b') := (a'a, a'b + b') と定義する。これは次の式の代入計算。 y = ax + b z…

どうもポーランド空間すごい、感じがしてきた。標準ボレル空間とは、可測空間のことで、ポーランド空間のボレル集合と可測空間として同型になるものをいう。おそらく、可測空間がボレル空間だとは、位相から作ったボレル族と可測空間として同型な可測空間の…

何でもいいのだが、応募者（候補者）5人、審査員3人として B, D, A, E, C C, A, B, E, D D, E, C, B, A 作為的に選好が割れている。順位付け〈ranking, ordering〉が審査員を表現しているとも言えるので、順位付けのあいだの距離は審査員のあいだの距離とも…

コンドルセのステートメントを次の形にしてみる。 局所的に整合でも、大域的な不整合は起こり得る。 「局所的」の意味を2つに分ける。 セル局所的〈cell-wise locally〉 範囲局所的〈range-wise locally〉 すると： セル局所的に整合でも、大域的な不整合は…

コンドルセのパラドックスは、次の2つの意味で解釈できる。 事実としての、コンドルセ現象 コンドルセによる問題提起 いずれにしても否定的な意味はまったくない。「コンドルセ現象は事実だから、そのメカニズム／背景を解明せよ」ということになる。この意…