単位空間とn-空間

モノイド圏の対象をベクトル空間と考えるとき、モノイド単位対象を単位空間〈unit space〉と呼ぶことにする。極めて重要なことは、

• 単位空間はスカラー体ではない！

スカラー体とは、単位空間のEndセットのことである。Iを単位空間として、

• S := End(I)

したがって、Sは外部的集合となる。圏が指数を持つなら、S := I^I として指数対象としてスカラーを定義できる。

• s∈S ⇔ s:I→I を外部スカラーと呼ぶ。
• s:I→I^I を内部スカラーと呼ぶ。
• Sを外部スカラー体と呼ぶ
• I^I を内部スカラー体と呼ぶ。

Sは外部から見て体だし、I^Iは圏内の内部体対象となる。次の記事に書いてある。

• その後の抽象スカラー、それとダガー圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記

単位空間を1-空間とも呼ぶ。1-空間のn個の直和（双積）をn-空間と呼び、I^⊕n と書く。Iⁿ とも略記してよいが、テンソル積のベキ指数と区別する必要がある。Iⁿ = I^⊕n をn-空間と呼ぶ。ゼロ空間はゼロ対象と定義する。

n∈N にn-空間を対応させると、Nから圏の対象への写像が定義できて、スカラー係数の行列計算ができる。