// モノイド演算（乗法） function mult(x, y) { var r0, r1, r2; r0 = y[x[0]]; r1 = y[x[1]]; r2 = y[x[2]]; return [r0, r1, r2]; } // オペレータの名前 var opName = { "u" : [1, 2, 2], "d" : [0, 0, 1], "U" : [2, 2, 2], "D" : [0, 0, 0], "X" : [0,…

関手の結合は図式順とするとき、 RA(X) = X×A AL(X) = A×X とすると、指数法則の記述がうまくいく。指数法則を記述すると、自然に結合律同型（associator）と単位律同型（unitor）が出てくる。まー、やってみそ。

改行を「/」で表して行列を書くことにする。W(f) = [1, 0 / f, f+1] がラッピング対応になる。反図式順クライスリ結合を g%f とすると、g%f = g + gf + f となる。gf はgとfの反図式順結合。次が成立する。 W(g%f) = W(g)・W(f) 普通に計算すれば出る。

親鸞つうと、『歎異抄』に出てくるという悪人往生譚ですな： 善人なほもて往生をとぐ、いはんや悪人をや。しかるを、世のひとつねにいはく、悪人なを往生す、いかにいはんや善人をやと 僕にはよく分からん！ が、とりあえず、「ボクは悪い子だ、邪悪なんだ、…

モナドの計算でヤン・バクスター方程式（＝ライデマイスター移動のIII番）が出て来るだろうとは、なんとなく予想はしていた。だが、えらくアッサリとご登場。あまりにもアッサリ、なにげに登場したので、僕はかえって出会い頭でビックリしてしまった。やっぱ…

コモナドは何の役に立つ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) 実際には、副作用を表現するモナドと一緒に、たいていはコモナドも出てきているのですが、ちょっと影が薄いんですよね。 コモナドは影が薄くて目立たない。注目もされない。なぜだろう？ コ…

圏C上のスワップ構造は、End(C)の部分モノイドM, Kと、スワッパーの族{[G, F]τ::GF⇒FG} で与えられる。Cがスワップ構造を持つなら、用語を乱用して、Cはスワップ構造付き圏（category with swap structure）だということにする。ブレイド付きモノイド圏は、…

Cが圏で、MとKをEnd(c)の部分モノイドとする。つまり、 F, F'∈M ならば、FF' = F;;F' もMに入る。 Cの恒等関手（IとかCとか書く）はMに入る。 G, G'∈K ならば、GG' = G;;G' もKに入る。 Cの恒等関手（IとかCとか書く）はKに入る。 K×M でインデックスされた…

ベック・スワッパーを意図的に使うようになって、なんかが見えてきた気がする。今、Circ-Kleisli（回路クライスリ圏）の再計算を少しずつやっている。以前と違うのは、テンソル強度（tensorial strength）がベック・スワッパーだと理解したこと。Circ構成（…

Title: Components as Coalgebras (2001) Author: Luis Manuel Dias Coelho Soares Barbosa URL: http://repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/356/1/cac.pdf 449ページ

google: "monoidal (labelling|labeling|stamping)"

2-圏でモナドを定義するときは、ホムセットは使えない。「単位／余単位 ＋ ジグザグ（スネーク）等式」を使う、そのほうが本質的な定義かもしれない。しかし、ホムセットを使った C(X, UA) ≒ D(FX, A) も捨てがたい。それで、中途半端っちゃそうなんだが、次…

F:C→D、G:D→C のとき、G:C←D と書いてもいいだろう。このアロー図の双対を描くとき、アローから双対ワイヤーへの平面内での向きを時計回りか反時計回りか決めないといけない。これは趣味と習慣以外のナニモノでもないが、アローを時計回りに回してワイヤと決…

Aaron Laudaの論文、Frobenius algebras and planar open string topological field theories 。 http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0508/0508349v1.pdf 印刷しようかな。でも66ページあるから、綴じるのに困る。

ベックの分配法則（Beckスワッパー）の対称性の高い模様 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編にて： こういう綺麗な模様ってのはたいてい何か意味があるもんだよ。 綺麗な模様を使って、unbiasedな乗法を定義できる。 n = 4 のとき： FτττG | μττμ | μτμ | μμ…

「今」とかいう惹句はどうでもいい悪のり。Ordを順序集合（poset）と単調写像の圏とする。Ordで豊饒化された圏、つまりOrd-CatをOcatとする。固有名詞だからOCatとすべきだろうが、めんどうだから普通字体。(後で続き)

ベックの分配法則（Beckスワッパー）を使って複合モナドの結合律を示す途中での対称性の高い図形が出てくる。A = FG だとして、τ:GF⇒FG がスワッパーとして、AAA⇒A（つまり、FGFGFG⇒FG という自然変換の定義なのだが： FττG | μτμ | μμ 左端のFと右端のGを垂…

早めに。

加群＝モノイド作用、あるいは、とある圏におけるモノイド作用を加群と呼ぶってことだろう。必ずしも一般的な用語ではないが： 圏 モノイド 左作用 右作用 両側作用 集合 モノイドM 左M集合 右M集合 (M, N)集合 k上のベクトル空間 k-多元環A 左A加群 右A加群…

あーそれと、"COALGEBRAS, BRAIDINGS, AND DISTRIBUTIVE LAWS"に載っていた例なんだけど：Hが双代数のとき、乗法と余単位を組み合わせて r:H×H→I を作れる。これを普遍形式（universal form）と呼ぶらしい。なんで普遍なのかわからんが。τ:V×W→W×V を標準ツ…

Hが余代数（coalgebra）という仮定で、H-comodule algebra という概念が出てきた。なんのことか分からなかったが、順番に考えるとなんとか推測可能。ベースとなる圏Cはモノイド圏。集合と直積とか、ベクトル空間とテンソル積とか。ここでは、記号×とIを使う…

プロ関手（profunctor, distributor）をbimoduleだかmoduleだかと呼ぶ習慣が一部にあるが、これはいくらなんでもヒドイ。論外としておこう。古典的には、環Rと環Sがあって、アーベル群Aが、左R加群かつ右S加群のとき、R-S両側加群と呼ぶはずだが、両側加群を…

アイレンベルク／ムーアと森田も関係する。 Title: BECK DISTRIBUTIVITY -- Dedicated to the memory of Jon Beck Author: MICHAEL BARR URL: ftp://ftp.math.mcgill.ca/pub/barr/pdffiles/distlaw.pdf 5ページ Title: THE EILENBERG-MOORE CATEGORY AND A B…

両モナドと両クライスリ圏の存在がわかったら、課題も大量に出てきたな。 C上の両モナドの圏DiMnd(C)の上に両クライスリ圏バンドルを作り、この圏バンドルを調べる。 両クライスリ圏バンドルの平坦化を調べる。 DiMnd(C)は、DiMon(End(C))のハズ。で、両モノ…

あれっ、dissociativeって解離って意味じゃなくて、 distributive + associative = dis + sociative = dissociative か。分配結合法則＝分合律。

F, Gがモナドのとき、結合FGをモナドにするため、自然変換τ::FG⇒GFが必要だが、この自然変換自体を分配法則（distributive law）と呼ぶ。変な用語法だがそうなっている。これはやっぱり、LMN 80のJ. Beckの論文"Distributive laws" 1969 が源泉らしい。「Bec…

もっとエンタテイメント性があるかと思ったら、辛い、痛い、しんどい映画だったなー。全然元気が出る感じじゃないわ。しかし、ミッキー・ロークってあんな顔だったかぁ？ 探してみると： http://www.youtube.com/watch?v=wRHmXdcA28c おー、これこれ。伊達男…

計算手順をざっと書いておこう。まず、ベックの法則（全部で4つ）のうちの2つ Gδ|τF|Fτ = τ|δG （ベックの法則・余乗法スワップ） Gτ|τG|Fμ = μF|τ （ベックの法則・乗法スワップ） 成分表示なら： x.G.δ ; x.τ.F ; x.F.τ = x.τ ; x.δ.G （ベックの法則・余…

ビンゴッ！！ やったーっ、ひさびさの大当たり。ベックの法則と簡単な補題を3つ使って結合律を証明できた。分かってしまえば、単純計算。いやー、DOTNは強力だ。絵算とDOTNがなければ、とても計算できかったろう、僕には。念のためもう一度確認してから書く…

ムフフフ、今回の山勘は当たりかもなー。両クライスリ圏の単位律は証明できた。まず、両クライスリ圏の恒等 x.ι（恒等もDOTNで書く）を次のように定義する。 x.ι := x.(ε|η) = x.ε ; x.η 図式順両クライスリ結合を f # g として、x.ι # f = f を示せばいい。…