任意のAに対してケリー双対系(A, R, η, ε)、(L, A, δ, γ)が存在するような圏は堅い圏と呼ぶ。A|→R、A|→L が写像として与えられているとして、R=A#、L=A*とする。η, ε（右双対）、δ, γ（左双対）もAをパラメータとして与えられる。以下、イコールは同型を意味…

次はなかかな便利だ。これを示すには、クロスオーバーを一回、ブレイド（または対称）計算を1回使うだけ。クロスオーバーは、スライディングスワップ（(f+g);σ = σ;(g+f)）の特殊ケースだが、スライディングスワップはブレイディングが自然変換であることの…

用語法は「ケリー双対」に従う。(A, X, η, ε)、(A, Y, η', ε')を2つのケリー双対系だとする。つまり、対象Aに対して2つの右ケリー双対がある。このとき、2つの右ケリー双対XとYは同型であることを示す。状況（settings）を絵に描くと：モノイド積を+で書くと…

ジグザグ（あるいは三角、あるいは剛性）等式で定義される双対概念があるけど、これが一般的な双対と混同しがちで非常に困る。以前、「ケリー単位／ケリー余単位」という言葉を使ったことがあるので、もういっそのこと「ケリー双対」と呼ぶことにしよう（勝…

が紛失しているのだけど。僕にとっては相当に大事なシロモノだからな、探さないと。ToDoのかなりの部分はToFind。アホじゃ＞自分。

定義を述べておく。(C, ×, I)がモノイド圏（対称性は仮定しない！）。(-)*:|C|→|C|、η、ε:|C|→Cが次の条件を満たすとき(C, ×, I, (-)*, η, ε)を軸的圏と呼ぶ。 (-)* はモノイド圏上の対象上双対作用（dualizer on objects）だとする。つまり、 A** = A （対…

ヤンキング等式とフリップターン等式、どちらかが成立すればもう一方も成立する（ただし、ジグザグは大前提）という意味で同値だが、ヤンキング（したがってフリップターン）が必ず成立するわけではない。2次元から外にでないで紐のヤンキングをしようとする…

εをエディントンのイプシロン（ただし、添字が2つの変形バージョン）として、 εABεCD = δACδBD - δADδBC がスケイン関係式（スピノール関係式ともいうのかな？）だが、成分ごとに愚直に全部計算してみた。やっぱり、点になんらかの量（状態ベクトル？）がく…

厳密とは限らないモノイド圏における五角形等式を絵に描いてみた。4つの対象の積の作り方は実際5種類ある。結合性（associativity）で直接に（1ステップで）移れるものは五角形の辺で結ばれる。隣り合ってない頂点は、2つの辺、または3つの辺を経由して移る…

対称、または組紐が作用する圏で、ブレイディング（クロッシング、トランスポジション）と結合性（associativity）との一貫性は六角等式で示せるが、これは、ABC→CAB、ABC→BCA という左右のローテーションに関する手順独立性だとみなせる。 右ローテーション…

古典テンソル計算って、かなり綱渡りだなー。アインシュタイン規約、添字の上げ下げ、縮約は、トリッキーだがよく出来たマシナリーだなー、と感心する。が、合理化は面倒。昔、トレース付き圏の計算をそれと知らずにやっていたが、変数の扱いで散々に混乱し…

以前、コンパクト閉圏における σA*,A;εA = εA* のような等式をツイスト公式（twisting formula）と呼んでいたが、ツイスト（ひねり、ねじれ、よじれ）は、別な意味で使うのでどうもマズイ。とりあえず、フリップターン公式（flip turn formula）にしておく。…

インフルエンザで高熱（39.5度）を出して脳細胞は大量死滅したであろう。まーた、よりバカになった。とりあえずリハビリしておくか（無駄だろうけど）。うーんと、諸般の事情でコレ： URL: http://academics.hamilton.edu/physics/smajor/Papers/AJP00972.pd…

項tに対する型宣言 t:A を、「tはA（のひとつ）を具体的に構成する方法である」と読むと、構成的な感じがする。さらに、「tはAという命題の具体的な証明である」と読めば、証明論的な真偽解釈（に関する主張）だとも思える。型環境（変数の型宣言のリスト）Δ…

http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/memorias/memorias13/Cohomolog%C3%ADa%20de%20Khovanov.pdf のcoドメインはコロンビアでした。公用語はスペイン語。

アブラムスキーが取り上げているのだから、テンパリー／リーブ圏が計算や証明と関係するのは確かなのだろう。が、僕が興味(?)を持っていたところで、ほんとに役立つかはすごく疑問。なんかもう、これは単なるオモチャ（面白いだけの遊び道具）じゃなかろうか…

集合と直和のモノイド圏で、コピーを重ねる（フォールド）写像 A+A→A は、このモノイド圏内のモノイドになっている。

絵や写真が好き／得意な人らしい。なんか楽しげ。 http://www.math.toronto.edu/~drorbn/ Wikiで論文（いやっ、paperlet）書いてるし→http://katlas.math.toronto.edu/drorbn/index.php?title=Paperlet

スペイン語らしい。が、絵がいいのだ。 URL: http://www.usergioarboleda.edu.co/matematicas/memorias/memorias13/Cohomolog%C3%ADa%20de%20Khovanov.pdf Title: BICATEGOR'IAS DE TANGLES Y LA COHOMOLOG'IA DE KHOVANOV Authors: Stella Huerfano, Carlos…

記号法：Λ（キャップ；上から下に見て対生成）、V（カップ；対消滅）、I（何もおきない）、◇（ループ）。テンパリー／リーブ圏は、1次元上の多粒子系（の一瞬の状態）の位相的同値類を対象として、位相的運動（これも同値類）を射とする圏だと思える。ジョー…

あれれ、連接を非可換モノイド積と考えて、さらに、このモノイド積を横結合と考え、2つのトレースを持つ圏を考えればいいのか？ 連接＝横結合とするなら、もうひとつ縦連接とでも呼ぶべきモノイド積が必要になるな。なんだ、よくわからんけど、再帰が二方向…

Samson Abramsky, Ross Duncan "A categorical quantum logic"（http://www.mathstat.dal.ca/~selinger/qpl2004/PDFS/02Abramsky-Duncan.pdf）に次のように書いてある。 An LCCB2 sequent is of the form Γ |- Δ; [L]where Γ, Δ are lists of formulae and L…

pivotalを辞書で引くと：「回転の軸となる」、「中枢の」中枢圏はいかにもマズイし、回転軸圏は長いし、軸圏か軸的圏か？ カタカナでピボット圏、ピボタル圏。うーん、どれもよくない。

「モナドと上江州拡張」にて： モナドのKleisli圏と上江州拡張はなんらかの関係があるってことだな。 項(Term)モナドと上江州拡張の関係をハッキリさせる -- これ課題。方針としては、まず、項モナド（実際は、モナドのKleisli圏）を、[0]={}, [1]={1}, [n]=…

あれれっ、あれ？ 型付き変数集合の圏の上で項モナドや項集合モナドを考えると、[x1, ..., xn]→[y1, ..., xm]のような射がKleisli射として得られる。ところが、上江州拡張でも同じ射が得られる。ということは、モナドのKleisli圏と上江州拡張はなんらかの関…

なんでXMLに上江州計算を使わなかったんだろう。ばかだなー。アンビエント・モデル圏がωCPOなんだから、使い放題なのに。式（正規表現とか）はfrom-v射だし、非再帰方程式系はfrom-v to-v射だし、トレース・オペレータτのスコープとかもλと同じだし、上江州…

Cが対称モノイド圏なら、ある程度上江州計算ができる。Xが全順序が入った型付き変数集合＝型環境（型宣言の順序リスト）なら、上江州拡張C⊆C[X]が作れるから、 from-v射（上江州さんのv→射）としての変数を含む式 式のタプル to-v射（上江州さんのv←射）とし…

「コンパクト乗法的線形論理」でCMLL（Compact Multiplicative Linear Logic）の推論規則を出したが、MILL（Multiplicative Intuitionistic Linear Logic）も記しておこう。CMLLは意外と古典論理（∧と¬）に近くて、MILLと感じが違う。CMLLとMILLを比較する；…

URLの一部を検索したいことが多いから、URLは文字列検索の対象になったほうがいい。ただし、自分のエントリーではURL文字列は不要だな。自分のエントリーは同じウィンドウ内で遷移したほうがいいと思う。

アブラムスキー（http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/samson.abramsky/tambook.pdf）で、面白い小ネタ。AとBを順序集合として、直和A+Bに普通に順序構造が入る。A+Bと同じ台集合に、a∈A、b∈Bならば a A, Bが全順序のとき、A＜|B も全順序。A→B := Aop＜|B…