集合上に部分的な二項演算「;」を持つ系を考える。圏だと思う必要はないし、圏だと思いたければそれもよし。プレ順序≦もあるとする。a≦b かつ b≦a のとき、a〜b と書く。〜は同値関係。演算;が結合的であるとき、厳密プレ半群、〜の意味で結合的であるとき疑…

なんか、わかったかも - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 壁の圏の構造 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 半加群の二重圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 年末年始で考えたこと：記号回路とか両側半加群とか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

とととと、で、どんな計算をしていたか。I, J, K, Lとかは非負整数、[I]= {0, 1, ..., I-1}、#([I]) = I とする。対応する小文字i, jなどはI, J上を走る変数。+, * は普通の足し算と掛け算。/, % は余りのある割り算（整除）と余り。I(*)J = [I*J] として、f…

LaQ（http://www.yoshiritsu.com/html/new_top/new_top.html）のピースのタイプ番号を覚えられない。四角とか三角とか曲がったヤツとか呼んでいる。次男にバカにされる。と、それはどうでもよくて、LaQの“四角のようなヤツ”（何番だ？）で、直接的に接合でき…

対角和とクロネッカー積の計算をしてみたのだけど、整数の掛け算／割り算ができねーよ。ダメダコリャ。だいたいの見通しはついているのだけど、具体的な算術計算すると間違う。ダメダコリャ。どうしたもんかなー？ 次男と一緒に勉強し直すか（割とマジ）。

a[i, j], b[k, l]、0≦i＜I, 0≦j＜J, 0≦k＜K, 0≦l＜L とする。 c[α, β] = a[i, j]*b[k, l] d[α', β'] = b[k, l]*a[i, j] のとき、0≦α＜I*K, 0≦β＜J*L に対して、 α' = (α%K)*I + α/K = σ(α) β' = (β%L)*J + β/L = τ(β) とすると、(α, β) |- σ×τ →(α', β') が…

行列の対角和とクロネッカー積の半環は、単位律も結合律もon-the-noseで成立する。2つのpermutative圏の構造を持つ。具体的な添字計算で分かる。

profunctorとbimodule（両側加群）と行列の関係は？

手が痛えー。タイピングが不自由。 コボルディズムの圏 両側加群（bimodule）の圏 ラベル付き遷移系の圏 圏係数行列の圏 他に、順序集合の圏の圏、強2-圏の圏とかタングルの圏とか。 典型的対象 0セル 1セル 2セル コボルディズム 境界なし多様体 同境 同境…

行列のクロネッカー積を作るときは、添字を 0, 1, 2, ..., I-1 としたほうが便利。a[i, j]とb[k, l]のテンソル積を a(×)b とすれば、 (a(×)b )[i, j, k, l] = a[i, j]*b[k, l] a(×)b を平坦化した行列をcとして； c[α, β] = a[i, j]*b[k, l] α = i*K + k β =…

係数半環を固定して、行列の全体Matを考える。A, B∈Matに対して、形状が同じとき、その成分の置換を射と考えて亜群を作る。任意の置換ではなくて、ブロックに切って（矩形分割して）の置換だけを考えてもいいだろう（ゲームっぽい）。すると、亜群Matは、対…

Dominic Verity の本がcomplicial sets だったが、simplicialと類似の言葉だな。simplicialを僕はsimplicalと勘違いしていた。発音もたぶんシンプリカルじゃなくてシンプリシャルなんだろう。simplexの複数はsimplices（iに注意）で、complexの複数はcomplex…

Title: The Eckman-Hilton argument and higher operads Authors: M.A. Batanin URL: http://arxiv.org/abs/math/0207281 (Submitted on 30 Jul 2002 (v1), last revised 14 Jun 2007 (this version, v4)) 57ページ

消防博物館とも近い。 http://www.goodtoy.org/ttm/

アマゾンから案内が来た： http://www.amazon.co.jp/gp/product/0821841424/

昨日の記事に訂正： シェープが(I, J)であり圏の対象を成分とする行列を1セルと考えると、同じシェープで射を成分とする行列は2セルと思ってよい。2セルの縦結合はアダマール積に似てるからアダマール結合と呼ぼう。Mat(I, J)はアダマール結合で圏になる（ア…

弱半環（pseudoを使って疑似半環 or 疑半環のほうがいいかも？）係数の行列計算は、なんか奇妙だ。が、既存の枠組みに入るような気もする。とありえず現象： 行列A, B:I→Jに対しして同値α:A~~>B がある。これを2セルと考えることもできるが、ちょっと違うよ…

古典的計算的な意味でのテンソル積は (A×B)[i, j] = A[i](×)B[j] のような感じで、添字の集合の次元が上がる。一方、クロネッカー積は、添字の次元をスプライシングで落としてしまう。2次元配列を“配列を要素とする配列”にするようなもんだ。要するにいくら…

まず、弱半環として、集合と双射、直和と直積を考える。これをSB(Sets and Bijections)とする。詳しくは、(SB, +, 0, ×, 1, 法則ごとの同値性)。法則ごとの同値性とは、associator αとか、なんか色々。I, J, Kなどは有限集合として、弱半環SB係数の行列を、I…

圏を係数系とした行列／テンソルの計算をしたかった。だから、バレット＆マッカイの2-ベクトル空間や圏群の話は、ちょうどいいタイミングだった。バレット＆マッカイでは、具体的な行列を使ってモノイド双圏を作っている。が、僕の興味としてはモノイド二重…

モノイド、群、半環のように、等式的に定義された代数系を考える。当然にこれらは、集合を台として定義される。圏を台にしたモノイドはモノイド圏、亜群を台とした群は圏群、圏を台とした半環は半環圏（まだ定義は曖昧）のようになるが、集合と圏の中間的な…

圏群の定義だけど： 亜群の圏の群対象 まー、わかるんだけど、台構造（underlying structure）にも構造射にも逆があるから、記法が紛らわしいかな。Gが亜群として、Gの射f∈G(X, Y)には逆f-1∈G(Y, X)がある。一方、(-)-1:G→Gという関手＝構造射もある。X∈|G|…

昨日言及したバレット＆マッカイ（Barrett and Mackaay）論文に、圏群（categoracal group）ってのが出てくる（つうか、それが主題だ）。群の交差モジュール（crossed module）と同じ概念なんだそうだ。交差モジュールは、群E, G、群準同型δ:E→G、左作用-*-:…

おー、なんかやっと面白くなった。2-ベクトル空間ってバエズの定義をみても分からなかった。バエズによれば、ベクトル空間の圏のなかの圏対象（内部圏）が2-ベクトル空間ってことだが、これだけだと何がうれしいかわかんない。 Title: Categorical Represent…

自然数（非負整数）集合が対象である圏をなんか呼び名があったような。PROだかPRODだか、うーんと？ グレアム・シーガル（Graeme Segal）が言っていたのだっけ？オペラッドが自然数を対象とする複圏？

結合性自然同型 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 そういえば、α、λ、ρをそれぞれ、associator, left unitor, right unitorと言うことがあるようだ。tensoratorなんて言葉もある。

さまざまな移動（moves）たち - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 タングルの圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 対蹠作用、直進圏、最小自由生成 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 直進圏とその変種 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 とかを読み直す…

http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/samson.abramsky/tambook.pdf Webからなくなると悲しいからローカルに落とした。

これでいいと思う。 I*f = f*I = f (f*B)*C = f*(B×C), B*(C*f) = (B×C)*f B*(f*C) = (B*f)*C C*(f;g) = (C*f);(C*g), (f;g)*C = (f*C);(g*C) idA*B = idA×B, B*idA = idB×A (f*B);(A';g) = (A*g);(f;B')

やっぱり読み書き機械だけでもいいのかもな。んんと、こういうことか。集合Xと非負整数nが与えられると、指標Σ(X, n)が作れる。 read(i):s→X (i = 0, ..., n-1) write(i, x):s→s (i = 0, ..., n-1、x∈X) ここで自由なソート記号sに集合を対応させ、オペレー…