用語造語「ハイパー行列」 -- やめました。どうもシックリこない。代替案はカテグラフ（categraph）。

僕の好みの構造 -- 境界付き有向グラフに辺ラベリング（または重み付け）をしたもの、この構造には名前がない。ラベル（重み）の値を半環、さらには圏に拡張できて、次のような概念を包括する。 半環係数の行列 オートマトン (0+1)次元のTQFT 物理的には場、…

半環関係： Esik/Kuich, Rationally Additive Semirings →http://www.brics.dk/RS/01/42/BRICS-RS-01-42.pdf 第2章を良く読んでまとめること。cf. →圏のloopingと不動点 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 Esik/Kuich, Inductive *-Semirings →http://www.b…

本編に専門家を信用できない社会は辛すぎる - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)なんてのを書いたけど、http://www.glocom.ac.jp/project/chijo/2004_04/2004_04_02.pdfを読んだ目的は： ラグランジュ力学と言いますと、ラグランジュ関数があると、アク…

確かカーツ（Kurz）が、状態空間の変換を様相オペレータとして解釈していた。ブール・クリーネ圏でも様相オペレータを入れたいのだが、Kleene Algebra with Domain (KAD)を使えばよさそうだ。f:A→B がブール／クリーネ圏の射とする。つまり、fはA,B両側半加…

対象が{0, 1}である圏を考える。id0=0, id1=1、id以外の射は： θ:0→1 !:1→0 z:1→1 関係は、θ;! = 0, !;θ = z。z;z = zは出る（z;z = !;θ;!;θ = !;0;θ = !;θ = z）。表にする。縦;横 と見る。 ; θ ! z θ - 0 θ ! z - - z - ! z 2対象5射の圏になる。対象{0, 1…

圏Cがクリーネ圏であって、さらに次を満たすとする。 対象はブール代数である（半環とみなす） homset C(A, B)を可換モノイドとみなして、左スカラー乗法LA,B:A×C(A, B)→C(A, B)が左半加群構造を与える。 同じく、右スカラー乗法RA,B:C(A, B)×B→C(A, B)が右…

見た目がTeXとは思えないので覗いてみたら： %!PS-Adobe-3.0 %%Title: (N'western 97 for web) %%Creator: (MacWrite Pro: LaserWriter 8 8.3.3) %%CreationDate: (16:21 Thursday 20 March 1997) %%For: (Ross Street)というわけです。

トレース付き双デカルト・モノイド圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編とかKozen圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編にも書いてあるが、もとネタから念のため引き写しておく。 Kahl "Refactoring Heterogeneous Relation Algebras around Ordered Catego…

トーマス・カーラーのWebページ（http://www.math.ohio-state.edu/~kerler/）からたどって、リュウバシェンコ（Volodymyr V. Lyubashenko ）との著書"Non-Semisimple Topological Quantum Field Theories for 3-Manifolds With Corners" http://www.amazon.c…

群環にならってモノイド半環を作ってみる。二値ブール代数Ωをベキ等半体だと思って、モノイドMからΩへの写像の全体をΩ(M)と書く。Ω(M)は半環になるが、和は合併、積は共通部分の集合代数とみなせる。群環のホップ代数に倣って、単位1→Mから余単位ε:Ω(M)→Ω(1)…

うーん、双デカルト圏は半環上の半加群の圏と非常に密接に関係する。やっぱり、Golanの本（http://www.amazon.co.jp/gp/product/0792357868）で半環の勉強しないとダメかしら。

半環／半加群の次元論は僕の手に負えない。これはもうスキップしよう。で、公理化でごまかす。(C, U)が単純モノイド圏だとする、Uは特定された単純対象。dim:|C|→N+{∞}が次元であるとは： dim(X) = 0 ⇔ X≒0 （右の0はモノイド単位対象で、≒は同型） dim(X) =…

Kが半環（可換とは限らない）として「Kn = Km ⇒ n = m」が、どんな条件でどの程度成立するか？が、シリアスな課題になっている。半環Kと半加群Xに対して、Dim(X) = {k∈N | Kk = X}として、Dim(X)が空でないX（有限で自由な半加群）だけを相手にする。dim(X) …

単純圏における対象の次元の課題を少し別な見方で考える。Kが半環のとき、行列圏Mat[K]を作れる。Mat[K]はNを対象類、1を単純対象とする単純双デカルト圏となる。“単純対象が特定された単純双デカルト圏の圏”をSBCCとすると、Matは、SR（SemiRings圏）→SBCC…

対称モノイド圏が単純だとは、単純対象が同型を除いて1つしかなくて、すべての対象が単純対象の和（モノイド積）に同型。 と、定義した。特定された（distinguishedな）単純対象をUとして、モノイド積を+で書いて、U + U + ... + U = n・U と書くことにする…

Luigi Santocanale →http://www.lif.univ-mrs.fr/~lsantoca/ 2001年くらいから論文発表をはじめているので、まだ若いのかな？μ-双完備圏(μ-bicomplete categories）を中心に、線形論理、巡回的証明、ゲーム・セマンティクスとかをやっている。注目のヒトです…

google:"GS Monoidal categories" けっこう引っかかる。やはり、コラディニ、ガダッチ、モンタナリ（Andrea Corradini / Fabio Gadducci / Ugo Montanari）あたり。ちなみに、セリンガーの用語"category with diagonals"はセリンガーしか使ってない感じだ。 …

Cが単純双デカルト圏として、Uを選ばれた（distinguished）単純対象だとする。このとき、Un→Umの形の射の全体は部分圏となる（U0=0と約束する）。この部分圏は、骨格的（skeleton）部分圏となることを示せ。これが示せれば、Cは、K = End(U)係数の行列圏と圏…

Zoltan Esik / Hans Leiβ "Greibach Normal Form in Algebraically Complete Semirings" →http://www.brics.dk/RS/02/46/BRICS-RS-02-46.pdf (46P) Z. Esik "The Equational Theory of Fixed Points with Applications to Generalized Language Theory"→http…

ステファネスクもセリンガーも、トレースには二種類あることを示唆している。iterational (またはlooping, additive) traceと existential (またはmultiplicative) trace。つまり、繰り返しや再帰に関するトレースと、論理の存在記号に似たトレースだ。2つの…

f1:X→Y1, f2:X→Y2に対して、<f1, f2>:X→Y1×Y2を、射のタプルと呼ぶ。一方、f1:X1→Y, f2:X2→Yに対する[f1, f2]:X2+X2→Yを余タプルと呼ぶことにする（この記法は、ステファネスクとは逆）。タプルと余タプルを等式的に定義するには、等式的デカルト圏、等式的余デカル</f1,>…

∇;Δ = □、∇;Δ = (Δ + 1);(1 + ∇) は、高次の特異点（尖点の接触）を分岐特異点まで解消しているような絵になる。

次の3つを比較する。 コラディニ／ガダッチ（Andrea Corradini, Fabio Gadducci）http://citeseer.ist.psu.edu/corradini99algebraic.html の15ページ セリンガー http://www.mathstat.dal.ca/~selinger/papers/catasynch.pdf の11,12ページ、 ベスパロフ ht…

Kozen圏の定義は二転三転しているが、最近はまたもとの定義に戻って： 対称モイイド圏 等式的デカルト（普通の意味でデカルトとなるようだ） 等式的余デカルト（半線形性を持つ） ∇;Δ = □（これを含めて等式的双デカルトと呼ぼう） Δ;∇ = 1（ベキ等） トレー…

等式的デカルト圏＝デカルト圏であっても、等式的余デカルト、等式的双デカルトな圏を考えることに意味はある。等式を使うと、極限のときとは双対性の使い勝手が違う。余デカルト性は即座に半線形性になる。双デカルトの定義には、∇;Δ = □ も入れた方がいい…

対角Δと弱終射◇（重複と放電）、それらの等式で定義される圏を単にデカルト圏と呼ぶのはまずいな。等式的デカルト（Equationally Cartesian）圏かな。セリンガーは、http://www.mathstat.dal.ca/~selinger/papers/catasynch.pdfの12ページで、「等式的デカル…

(C, (※), 1)がモノイド圏だとする。モノイド閉の定義として、指数演算を関手として表面に出すスタイルがある。[-, -]:Cop×C→Cという2変項関手（指数関手）があって、自然な集合の同型ΨA,B,C:C(A(※)B, C) = C(A, [B, C])が与えられているとき、[-, -]とΨの組…

※ここでは、f∨g = Δ;(f + g);∇ とする。f* = 1 ∨ f+ を絵算で示すときに、どうも次の公式が必須なようだ。 ∇;Δ = (Δ+Δ);(1+σ+1);(∇+∇) □≡(Δ+Δ);(1+σ+1);(∇+∇) と置けば、 ∇;Δ = □ ∇;Δ = □は、双代数（Δと∇を持つ代数）の公理だったりもする。η、εが単位、余…

定理の記述Cがトレース付きデカルト圏として、Cにおけるf:A×X→B×YのトレースTr(f)は、次のように分解した形で書ける。 fの第一射影f1をfout（出力関数）、fの第二射影f2をftran（遷移関数）とすると、Tr(f)は、ftranの不動点であるfloopとfoutの和（に近い形…