等式的双デカルト圏のための等式群

次の3つを比較する。

• コラディニ／ガダッチ（Andrea Corradini, Fabio Gadducci）http://citeseer.ist.psu.edu/corradini99algebraic.html の15ページ
• セリンガー http://www.mathstat.dal.ca/~selinger/papers/catasynch.pdf の11,12ページ、
• ベスパロフ http://arxiv.org/abs/q-alg/9510013 の5-8ページ

記号法は、これらのどれとも違うのだが、(Δ, !)、(∇, θ)を使う。(∇, θ)をaddition, (Δ, !)をcoaddtionと考え、(Δ, ∇, !, θ)を可換（アーベル）双モノイドとして定義する立場をとる。

やたらにモノグサな記法だが：

• id_A = 1_A = 1 = A （文脈依存）
• !_A = ! : A→0
• θ_A = θ : 0→A （いちおう、0とθは区別する）
• id₀ = 1₀ = 0 （混乱の心配がなければ）

コラディニ／ガダッチのGSモノイド圏の等式

1. Δ;(1 + Δ) = Δ;(Δ + 1) 余結合律
2. Δ;(1 + !) = 1 余単位律1
3. Δ;(! + 1) = 1 余単位律2
4. Δ;σ = Δ 可換律

ここまでは、可換コモイノド。モノイド圏の+と0に関して、Δと!が協調的であること：

1. Δ_A+B = (Δ_A + Δ_B);(A + σ_B,A + B)
2. Δ₀ = 0
3. !_A+B = !_A + !_B
4. !₀ = 0

λ:0→0+0 をモノイド圏で定義できる同型、λ'をその逆とすると、次が正確な表現。

• Δ₀;λ' = 0 （または Δ₀ = λ）

1. !_A+B = (!_A + !_B);λ'

セリンガーの対角付きモノイド圏

GSモノイド圏とまったく同じ。ただし、セリンガーはΔ₀;λ' = 0 を忘れているようだ（他から出る？）。

ベスパロフの代数／余代数／双代数

「モノイド圏の代数」「モノイド圏の余代数」の定義は、モイイド／コモノイドの定義そのもの。双代数では：

• ∇;Δ = □
• θ;Δ = λ;(θ + θ) : 0 → A + A
• ∇;! = (! + !);λ' : A + A → 0
• θ;! = 0

双デカルト圏の公理としては、∇;Δ = □だけがあればいいと思う。