このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」(http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/)のデータを移行・保存したものであり、今後(2019年1月以降)更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

圏一般論

律子と制約と一貫性

「一貫性」という言葉が曖昧だから整理する。まず、律子〈rator〉は法則を与える2-射(あるいはもっと高次の射)のこと。律子が満たす等式を制約等式〈constraint equation〉または等式的制約〈equational constraint〉または単に制約〈constraint〉と呼ぶ。…

インデックス付き圏のフビニの定理

関連しそうな自分のエントリー。ウヘー、我ながらいっぱいあるなー。ざっと読んでいこう。読んだら、感想を一言ずつ書いていこう。 述語論理とインデックス付き圏と限量随伴性 20170824 テンソル積の作り方 20160829 中学レベル代入計算からカリー/ハワード…

大局的圏論

category theory in tha large、または large-scale category theory。

自然変換のカリー化と評価自然変換

F, G, Hなどは、前層の圏[Cop, Set]の対象、つまりC上の前層。ギリシャ小文字は前層の準同型、つまり自然変換を表す。ホムセットの書き方は、 [Cop, Set](F, G) = Nat(F, G:Cop→Set) = Nat(F, G) 最後の書き方は略記。また、Cの前層は、 C^ = PSh(C) = [Cop,…

ナントカ位相

ローヴェア/ティアニー位相は https://ncatlab.org/nlab/show/Lawvere-Tierney+topology The use of “topology” for this and the related Grothendieck concept is regarded by some people as unfortunate; https://ncatlab.org/nlab/show/historical+not…

スターモノイド圏=対合モノイド圏の一貫性

圏の構造を与えるオペレータ(関手)と律子(自然変換)がある。モノイド構造なら、 オペレータ: :C×C→C I:☆→C 律子: α::(×C);⇒(C×); λ::λ;(I×C);⇒C ρ::ρ;(C×I);⇒C 恒等自然変換、律子、外の圏の律子を組み合わせて2-射を定義すると、2-射の圏がやせた圏と…

スター圏、スター対称モノイド圏

形容詞としのてスター〈star〉と対合〈involutive〉は同義とする。Cのスターオペレータとは、反変自己関手Sと、自然同型 ξ:SS→Id の組。ξは対合律子〈involutor〉と呼ぶ。involutorという言葉は次で使っている(意味は違う)。 [q-alg/9609018] Higher-Dimen…

弱プルバックと半プルバック

プルバックは極限だから、存在と一意性がいる。存在だけ仮定して一意性を仮定しないのが弱極限で、コスパンンの弱極限が弱プルバック〈weak pullback〉。半プルバック〈semi-pullback〉は同義語。[追記]区別することもあるのか?[/追記]

独立性の概念とグリーフ

コンポジトリとグリーフの論文 Title: Compositories and Gleaves (2013v1 - 2016v3) Authors: Cecilia Flori, Tobias Fritz Pages: 54p URL: https://arxiv.org/abs/1308.6548 このなかに独立性や条件付き確率に関する例がある。そこから参照されているのが…

rator、律子再び

ratorに関しては: rator - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 続・rator - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 等式的な法則〈(equational)? law | equation | identity | relation〉を自然同値や(同値とは限らない)自然変換で置き換えて圏化することがある…

実験:関手と自然変換の計算

1行の行列の代わりに、(x \, y) でなんとかならないか。ソース x\bullet y \,=\, \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \,=\,(x \, y) あまり変わらない。

関手と自然変換の計算

反図式順で書くとする。横結合を次のように分類する。 ・C : 結合〈composition〉 ・A : 適用〈application〉 ・W : ヒゲ結合〈whiskering〉 縦結合に関しは、 C : 結合〈composition〉 I : 恒等結合〈identity composition〉 次に結合可能性の表、次の…

集合、指標、圏、モデル、項

k-集合は、(k-1)-圏となる。k-指標(k-コンピュータッド)はk-集合上の構造を定義する。k-指標で定義されるk-構造付き集合を対象とするk-圏をk-マンダラと呼ぼうか。マンダラは、圏とドクトリンと統合する。 k-マンダラは、k-圏である。 k-マンダラの対象は…

命題、集合、圏

真偽値の意味で命題を使う。自然数nに対してn-命題を定義する。 0-命題 - - 1-命題 0-集合 - 2-命題 1-集合 0-圏 3-命題 2-集合 1-圏 4-命題 3-集合 2-圏 構造付きk-集合 = k-構造付き集合 = k-代数 構造付きj-圏 = j-構造付き圏 = (j+1)-代数 構造付きk-…

圏論的宇宙とレルム格子

Σ(n∈N| Wn)×{r∈N} でインデックスされた圏の集まりを考える。インデックスセットである Σ(n∈N| Wn)×{r∈N} は格子と呼ぶ。 Wnは、n-圏の弱さ〈weakness〉の集合→高次圏: 複雑さの2つの方向と半厳密性 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 rは階数の集合。集合論的階…

メイト定理

メイト〈mate〉に関してnLab項目 https://ncatlab.org/nlab/show/mate を毎回参照するのだが、分かりにくいペースティング図を解釈して、毎回忘れる。ここに、ストリング図を描いておく。状況設定は、 Title: Multivariable adjunctions and mates (2012) Au…

圏論的絵板計算

絵算と型付きラムダ計算を混ぜたようなもんで、関手と自然変換の計算に使う。 型付きラムダ計算 絵板計算 型 プロファイル 変数 名前付きスロット 定数 素子と絵板 適用 スロットへのはめ込み ラムダ抽象 穴あけ、切り抜き〈cutout〉、切り落とし スロット〈…

随伴の表現

F:C→D, G:D→C はあるとする。 単位η、余単位εとニョロニョロ関係式 自然同型 Φ:D(F-, -)→C(-, G-) Fとη::C^⇒F*G の組が、アンダースライス圏-/Gの終対象を選択する。 Gとε::D^⇒G*F の組が、オーバースライス圏G/-の始対象を選択する。

随伴の書き方

CとDが圏で、2つの関手 F:C→D, G:D→C が随伴対であることを次のように、 Title: COMPLETION, CLOSURE, AND DENSITY RELATIVE TO A MONAD, WITH EXAMPLES IN FUNCTIONAL ANALYSIS AND SHEAF THEORY Author: RORY B. B. LUCYSHYN-WRIGHT Pages: 33p URL: http:…

米田カン拡張とエルブランモデル族

Σを指標として、SをΣから生成された自由圏とする。SからSetへの関手をモデルと呼ぶ。モデルは前層だから、モデルの全体は前層圏PSh(S)と同じ: PSh(S) = Mod[Σ] 。米田埋め込み よ:S→PSh(S) が考えられる。この米田埋め込みは、Σのエルブランモデルの族と同…

カン拡張の注意

左右のカン拡張(カン持ち上げでも)大事なことは、関手としてのカン拡張だけではなくて、自然変換である単位(左のとき)、余単位(右のとき)も一緒に考えること!左/右カン拡張の単位/余単位は、余/極限の余/錐に対応する。

左カン拡張の例

呼び名がないが、枠組みとして決める最初の関手拡張/持ち上げのルーラー関手(または単にルーラー)と呼ぶことにする。ルーラーに沿って拡張する。持ち上げのときは雰囲気違うけど、もう符丁でいいや。[追記]ルーラーの事情:「沿って」の語感から。基準/…

随伴性の持ち上げ

L -| R :C→D があるとき、任意のEを持ってきて、 (-*L) -| (-*R) :CE→DE と持ち上がる。この事実をうまいこと絵に描くにはどうしたらいい?

コンマ対象は左持ち上げ←マズイ!

カン拡張における上下左右: 入門の前に整理すべきこと - 檜山正幸のキマイラ飼育記の絵からの連想。コンマ圏の対象をコンマ対象と呼ぶと、コンマ対象はEが自明圏☆のときの左持ち上げとなる。コンマ圏の射は、左持ち上げの射。これは何の意味がある?[追記]…

カン拡張の転置・反転置オペレータの記号法

カン拡張における上下左右: 入門の前に整理すべきこと - 檜山正幸のキマイラ飼育記の「ラムダ計算と類似の記法・図法」で: 他の描画方向なら、別な記法にすべきでしょう。 ↓のようになる。 →描画方向 ↓→ ↑→ →↓ →↑ 左拡張転置 ∪α ∩α α⊃ α⊃ 右拡張転置 ∩α ∪α…

自然演繹のための構成法

Cは一般的なモノイド圏、X = (X, δ, ε)がC内の余モノイド(余モノイド構造、余モノイド対象)のとき、Xのスタンピング関手(域側に掛け算する)から余モナドが定義できる。 上記の余モナドの余クライスリ圏を作れる。これは一般的な構成。 余モナドがテンソ…

自然演繹のボックス構造による定式化

論理記号 導入規則 除去規則 ∧ ∧導入 BOX ∧除去1, ∧除去2 BAR ⊃ ⊃導入 BOX ⊃除去(モダスポネンス)BAR ∨ ∨導入1, ∨導入2 BAR ∨除去 BOX ¬ ¬導入(背理法)BOX ¬除去(矛盾)BAR BOXまたはBARのラベル 論理記号 導入規則 除去規則 ∧ pair BOX proj1, proj2 B…

圏を直接扱うプログラミング言語

ヤノフスキ―がSammyという言語を定義している。 Kolmogorov Complexity of Categories (2013) Noson S. Yanofsky 16p https://pdfs.semanticscholar.org/bbf1/5662508b3efe27999ad9506e6ba17b1be397.pdf Kolmogorov Complexity of Categories (2013) スライ…

最近知った言葉

dense functor →https://ncatlab.org/nlab/show/dense+functor copower →https://ncatlab.org/nlab/show/copower inverter / coinverter →https://ncatlab.org/nlab/show/inverter inserter / coinserter →https://ncatlab.org/nlab/show/inserter equifier …

ローヴェア・セオリーの操作

L, L', Mなどはローヴェア・セオリーとする。 ローヴェア・セオリーの直和 L + M ローヴェア・セオリーのテンソル積 LM テンソル積はどの程度存在するかよくわからんが、次が成立する。 Mod(L, Mod(M, C) Mod(LM, C) この同型は(それが存在するなら)超便利…