スター圏、スター対称モノイド圏

形容詞としのてスター〈star〉と対合〈involutive〉は同義とする。

Cのスターオペレータとは、反変自己関手Sと、自然同型 ξ:SS→Id の組。ξは対合律子〈involutor〉と呼ぶ。involutorという言葉は次で使っている（意味は違う）。

• [q-alg/9609018] Higher-Dimensional Algebra II: 2-Hilbert Spaces

スターオペレータ＝対合 とする。スター関手はスターオペレータとは違い、対合保存関手〈involution-preserving functor〉の意味で使う。スター圏とスター関手とスター自然変換の2-圏を作りたい。

まず、スター関手＝スター保存関手＝対合保存関手 は、F:C→D と τ:SF⇒FS という自然同型。成分表示すると：

• τ_X:F(X)^*→F(X^*)

これに関して一貫性を考える。

1. τ_X:F(X)^*→F(X^*)
2. τ_X^-1:F(X^*)→F(X)^*
3. (τ_X^-1)^*:F(X)^**→F(X^*)^*

それとは別に、

• τ_X^*:F(X^*)^*→F(X^**)

(τ_X^-1)^*とτ_X^*はこの順で結合可能だから、

• (τ_X^-1)^*;τ_X^*:F(X)^**→F(X^**)

これに、

• F(ξ_X):F(X^**)→F(X)

を繋げると：

• (τ_X^-1)^*;τ_X^*; F(ξ_X):F(X)^**→F(X)

これが、ξ_F(X):F(X)^**→F(X) に等しいはずだから、

• ∀x. (τ_X^-1)^*;τ_X^* = ξ_F(X):F(X)^**→F(X)

これをスター関手の一貫性として要求する。スター自然変換を定義して、2-圏を作る。

モノイド圏のときは、次の対合＝スターオペレータの乗法性を要求する。

• (XY)^* X^*Y^*

この法則をスター乗法律と呼んで、対応する律子をスター乗法律子〈star mulitiplicator〉と呼ぶ。

• γ_X,Y:X^*Y^*→(XY)^*

スター乗法律子は圏の構造律子で、関手の構造律子も必要。おそらく次の項の計算法則だろう。

• F(X^*Y^*)
• F( (XY)^* )
• F(X)^*F(Y)^*
• (F(X)F(Y))^*

スターモノイド関手は、台関手F以外に、モノイド積還元子μ、モノイド単位還元子ε、スター還元子τを持つはず。さらに次の律子が関係する。

1. 結合律子
2. 左単位律子
3. 右単位律子
4. 対合律子
5. スター乗法律子

圏の構造射（の族）である律子と関手の構造射（の族）である還元子に、一貫性等式を要求する。

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言い忘れた。重要な予想は、

• 対称コンパクト閉圏は、対称スター圏になる。

よって、対称コンパクト閉圏は対称スター圏の特殊例となり、一般論である対称スター圏の結果が使える（と予想する）。対称コンパクト閉圏は、閉圏だから、次が成立しないとマズイ。

• 対称スター関手は、対称コンパクト閉圏上では閉関手になる。

閉関手の定義は、

• https://ncatlab.org/nlab/show/closed+functor