ミスロフ（Mislove）やパブロビック（Pavlovic）等による"Duality for Labelled Markov Processes"（http://citeseer.ist.psu.edu/642236.html）という割と短い論文がある。"Processes"は、マルコフ過程の意味のプロセスと、計算科学のソフトウェアとしてプ…

本編の「はじめての圏論」の第5歩、第6歩は、ちょっと先走りだったかもね（番外は“番外”だからまーいいとしても）。「圏論によりソフトウェアを理解する」のが僕の問題意識だから、話がソッチ方向にいってしまうのは、まー、いたしかたないのだけど、ソフト…

ヤンキングは、トレース付きモノイド圏でもコンパクト閉圏でも基本的な性質になっている。が、ベルトなどで実演するとわかるが、実際には、引き延ばすと180度ねじれてしまう。これを考慮したヤンキング公式もある。ところで、ブレイドのクロッシングを「⊃⊂」…

半環にダガーまたは包合と呼ばれる演算が備わっているとき、それをダガー半環（dagger semiring）と呼ぶ。ダガーの公理（冗長だが）は： a†† = a (a + b)† = a† + b† (ab)† = b†a† 0† = 0 1† = 1 Rがダガー半環として、R係数の行列A:n→mに対して、A†は、反転…

Set = Rel = S とする。類X上のK係数行列の圏をMat(X, K)とする。Bはブール半環として、Rel≒Mat(S, B)。よって、Set⊆Mat(S, B)。 半環RがB⊆Rならば、Set⊆Rel⊆Mat(S, R) となる。

名前ベースの多圏を考える。多圏の多対象は、レコード{a1:A1, ..., an:An} だが、A1, ..., Anはプログラムのインターフェース（指標）（の名前）だとする。レコード＝多対象に対して、a1, ..., anでプリフィックスされた演算記号を寄せ集めた指標 a1.A1 + ..…

セリンガー（Peter Selinger）の"Categorical Structure of Asynchrony"（→http://www.mathstat.dal.ca/~selinger/papers/catasynch.pdf）から、いくつかの概念：対称モノイド圏Cが|C|でインデックスされた族ΔA:A→A×A、◇A:A→Iを持ち、Aに対してΔAと◇Aが対称…

トレース付きモノイド圏Cに意味を持つような形式的体系の項を考えると、その項はシーケント計算の証明に対応する。証明図の木構造がちょうど項の木構造に対応する。よって、項の変形は証明図の変形になっている。さらに、項の値（意味）は圏Cの射だから、証…

最近、少しだけ多圏の使い方に慣れてきた。多圏はけっこうバリエーションがある。まず、カットの自由度から、シングルカット多圏とマルチカット多圏がある。シングルカットはワイヤー1本に関してカットする。マルチカットは束（たば；リボン）でカットできる…

ステファネスクは酵素（enzymatic）公理／規則を使っているが、これは他の概念と関係する。 酵素公理／規則 一様性原理（uniformity principle; Plotkin） （双）模倣 （bisimulation） 圏の振る舞い正規化（notion of behaviour）→Notion of Behaviour - 檜…

monoid + al で monoidal という形容詞ができる。semiring + al で semiringal。ステファネスクは、semiringal categoryという言葉を使っている。半環圏と訳そう。半環圏は、2つのモノイド構造を持ち。それらが、分配性（distributivity）自然変換で関係して…

アレクサンダーの定理は、絡み目／結び目がブレイドのブレイディング・クロージャであることを主張する。つまり、xを絡み目とすると、適当なブレイドbがあって、x = Cl(b) と書ける。Clはクロージャ。ここで、Cl(b)は、一種の正規形表現だと解釈できる。つま…

結び目／からみ目のアレクサンダーの定理は、カット消去定理と類似かも。

見出しカテゴリーが増えるのはしょうがない。現状ではカテゴリー編集手段がない。が、カテゴリー表示の順序だけでも直しておくとよい。 カテゴリー編集がないのは実に辛い。手で直すか？ カテゴリー表示（はてなモジュール）に区切り線を入れた。

僕がジャンクションと呼んだもの（ステファネスクは確かコネクターと呼んでいた）を定式化するのに、細かい定義や補題が要る。圏Cが全不連結とは： X≠Y ならば C(X, Y)=空。 要するに、End(X) = C(X, X)にしか射がない。本質的に全不連結とは： C(X, Y)≠空 …

コンパクト閉圏や線形論理（線形集合論）をやっている白旗さんが、こんなこともやっていた。→ http://gentzen.math.hc.keio.ac.jp/JavaScript/index.html

ジョン・バエズのタングル仮説というのは、すさまじい予想で、枠（法線場だと思ってよい）や向きがついた埋め込み多様体（それがタングル）のイソトピー同値類の圏が代数的／組み合わせ的に定義できるだろう、というもの。さらに、その代数構造が、弱高次圏…

正統とは違うようなナニカを「パラ××」というそうだ。

XとYが順序集合（実際は束のときが多い）で、f:X→Y、g:Y→Xがあって、「x≦g(y) ⇔ f(x)≦y」ならば、fとgは随伴だといっていい。さて、次の状況を考える。 x≦g(y) ⇔ y≦f(x) Yの順序≦' を「x≦'y ⇔ y≦x」と定義すれば、これも随伴だと考えることができるのだが、X…

タングルの定義は、次が明確。Xは1次元コンパクト多様体、I=[0, 1]として、なめらかな埋め込みf:X→I×I×I を考える。Xの境界はI×I×{0, 1}に入るとする。さらに、I×I×{0}の周辺では、fの像がI×I×{0}にのった有限個の点との直積構造を持つとする。つまり、{(x, …

チョー（超）なモノ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)、モドキなモノ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)を引き写しておく。チョー（超）なモノultra - ultracategoryはenrichmentとの関係で定義される。ultrametricとのアナロジーがあるよう…

http://www.ima.umn.edu/talks/workshops/SP6.7-18.04/forcey/talk.pdf 印刷途中でインク切れた。