斜随伴

XとYが順序集合（実際は束のときが多い）で、f:X→Y、g:Y→Xがあって、「x≦g(y) ⇔ f(x)≦y」ならば、fとgは随伴だといっていい。さて、次の状況を考える。

• x≦g(y) ⇔ y≦f(x)

Yの順序≦' を「x≦'y ⇔ y≦x」と定義すれば、これも随伴だと考えることができるのだが、X = Y のときはそうはいかない。そこで、この状況を「fとgが斜随伴」と呼ぼう。不等号の形が同じなので、fとgを左右で区別するのはふさわしくない。fを斜随伴の分解子、gを斜随伴の生成子と呼ぶ。

なんで、分解と生成としたかというと。Xが言語からなる順序集合として、fがオートマトンによる認識や言語微分を表現するとする。言語xに対してf(x)はxを分解していくような働きをする。g(y)はyを元にして文法による生成である。eを空語だけからなる言語だとすると、x⊆f(e) ⇔ e⊆g(x) 特にx = {a}と、xを単元言語にすると、a∈f({ε}) ⇔ ε∈g({a}) 。つまり、「文aが文法fで生成される ⇔ 言語{a}を分解するとεを含む言語になる」

実は斜随伴が意味を持つ例はこれしか知らないのだが、僕は、随伴と勘違いしていてトンチンカンなことをやってしまったから、随伴とは違うことを強調して、斜随伴という概念を定式化した。

いや、まて。以前、病原菌の伝染（伝搬）をTQFTの例に考えたときがあったが、あれは斜随伴になるかもしれない。