タングルとジョーンズ多項式

タングルの定義は、次が明確。

Xは1次元コンパクト多様体、I=[0, 1]として、なめらかな埋め込みf:X→I×I×I を考える。Xの境界はI×I×{0, 1}に入るとする。さらに、I×I×{0}の周辺では、fの像がI×I×{0}にのった有限個の点との直積構造を持つとする。つまり、{(x, y, z) | (x, y)∈有限集合, 0≦z＜ε}の形をしているとする。I×I×{1}の周辺でも同じ。

このとき、埋め込みf（あるいはその像）をタングルと呼ぶ。

床と天井で直積構造になるのは、メルローズのb多様体の定義にもあったな、確か。一般化するには、Xの次元と、埋め込み先の次元を任意にする。すると、狭義のタングルは1次元／余次元2のタングルとなる。

バエズ（John C. Baez）などによると、タングルのイソトピー類は圏となり、完全に代数的／組み合わせ的な記述ができるらしい。Shum（女性）の結果によれば、枠付き向き付き（framed oriented）タングルは、双対付きブレイド・モノイド圏（braided monoidal category with duals）であり、単一の自己双対対象から自由生成された圏に同型（か同値か）になる。コンパクト閉圏に近い構造を持つ。

ジョーンズ多項式は、タングル圏で定義され、他の双対付きブレイド・モノイド圏に値を取る関手になるらしい。ジョーンズ多項式では、値の圏が量子群の表現の圏という事情があったらしい。一般的に言えば、量子不変量は、“双対付きブレイド・モノイド圏の圏”の射（関手）となるのだろう。

タングルは、ある種のコボルディズムと考えられるから、確かにTQFTの枠組みに入っている。