領域ごとに、背景説明。 (1) mの定義 展開 (2) τの自然性をmに適用 τ□(m) (3) ρの自然性をmに適用 ρ□(m) (4) モノイド圏のマックレーン三角律・右 (5) τのアンバンドル（バンドル法則、アンバンドル法則） (6) mの定義 展開 (7) 自明（無駄） (8) μの結合律 …

絵算のテキスト化を完全にやってみた（超・疲れた） - 檜山正幸のキマイラ飼育記 参照

エンドは具体的に計算できないといけない。計算法は、↓がいいかな。 http://www.brics.dk/RS/01/27/BRICS-RS-01-27.pdf

有偏分散（biased variance）値関数は、x∈Rn に対する関数 bvar で、 [tex: mean(x) = mean*1 = mean(x_1, \,\ldots\, ,x_n) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i ] [tex: bvar(x) = bvar*2 = bvar(x_1, \,\ldots\, ,x_n) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i -…

Xの平均はX-で表すことにする。とは言っても、そもそも曖昧だと思うが。 V[X- - μ] = σ/n の計算（μは効いてこないので、定数ならなんでもいいが）： V[X- - μ] //1 = V[(X1 + ... + Xn)/n - μ] //2 = V[1/n(X1 + ... + Xn - nμ)] //3 = (1/n2)V[(X1 + ... +…

定義：μがX上の測度、K:X→Y、L:Y→Z が測度関係（確率関係と同じだが、全空間の測度＝1の制限を外す）として、 ν = K.μ = [K(x; y)μ(;x)dx]dy = dy.[K(x; y)μ(;x)dx] M = L・K = λx.[L(y;z)K(x;y)dy]dz = λx.dz.[L(y;z)K(x;y)dy] とする。次を示したい。 L.(K…

プレテンソル積、適用、積を次の順で定義する。 コンベンショナル等式による定義 微分形式のあいだの等式 積分した形の等式 積分核と測度のプレテンソル積： α*ν ~= α(x; y)μ(;x)dx, dy (α*ν)(;x, y)d(x, y) := α(x; y)μ(;x)dxdy (α*ν)(A, B) := [B| [A| α(x…

可測な文脈において： X, Yなどは可測空間、σ代数は明示しない。 A⊆X は、Aが可測空間の可測集合であることを示す。 X上の測度μに対して、μ(;x)dx という測度微分形式を考える。 M(Y)はY上の有界測度の全体（モナドの台関手）として、α:X→M(Y)は測度値写像 …

変数xの変域（空間）は大文字でX 同じ空間を走る複数の変数は、x, x', x'', x1, x2 など 関数は f(x)、xは点変数 測度核（マルコフ核の一般化）は、α(x;y)、xは点変数、yは余点変数。 測度は退化した測度核とみなす、μ(;x) = μ(*;y)、*は一点空間上の点変数…

「型を値とする」ラムダ計算なのだが、普通のラムダ計算と違う記号を使うと、視認性が悪くなって目で追いかけるのが大変なので、次のようにする。 定数名、関数名は大文字の名前 ラムダ変数名は小文字と数字の組み合わせ それ以外は普通の記法をそのまま使う…

あとで本編に書く（たぶん）。 高次元化（少なくとも2次元化） 非対称化（関手結合をテンソル積とみなす） 内部積（モノイド積）から作用積（テンソリング、余パワー）へ 部分的な指数

Setはデカルト閉圏でラムダ計算ができる。Catもデカルト閉圏だからラムダ計算ができる。だが、単なるデカルト閉圏じゃなくて、（厳密）2-圏だ。2セルである自然変換が計算の主役となる。2-圏におけるラムダ計算てのが必要だと思う。

DOTNを新記法にして、次の規則を導入しようと思う。 Eを自明な単位圏とする。|E| = {e}, Mor(E) = {e^} 対象a, 射f に対して、それの格上げを a~、f~ とする。 関手の結合と自然変換の横結合を * とする。 自然変換の縦結合を ; とする。 定義： e.a~ := a :…

「テスト付きクリーネ代数の圏論的な定式化」の簡単な例題の話。罫線付きノートをスキャンするとこうなるなヤッパリ。無地ノートが意外と売ってない。p, qがブール値のクエリー射 p, q:A→B×A （ブール代数を左側にした）として、ブーリアンANDを演算とするモ…

関手の結合は図式順とするとき、 RA(X) = X×A AL(X) = A×X とすると、指数法則の記述がうまくいく。指数法則を記述すると、自然に結合律同型（associator）と単位律同型（unitor）が出てくる。まー、やってみそ。

改行を「/」で表して行列を書くことにする。W(f) = [1, 0 / f, f+1] がラッピング対応になる。反図式順クライスリ結合を g%f とすると、g%f = g + gf + f となる。gf はgとfの反図式順結合。次が成立する。 W(g%f) = W(g)・W(f) 普通に計算すれば出る。

モナドの計算でヤン・バクスター方程式（＝ライデマイスター移動のIII番）が出て来るだろうとは、なんとなく予想はしていた。だが、えらくアッサリとご登場。あまりにもアッサリ、なにげに登場したので、僕はかえって出会い頭でビックリしてしまった。やっぱ…

計算手順をざっと書いておこう。まず、ベックの法則（全部で4つ）のうちの2つ Gδ|τF|Fτ = τ|δG （ベックの法則・余乗法スワップ） Gτ|τG|Fμ = μF|τ （ベックの法則・乗法スワップ） 成分表示なら： x.G.δ ; x.τ.F ; x.F.τ = x.τ ; x.δ.G （ベックの法則・余…

ビンゴッ！！ やったーっ、ひさびさの大当たり。ベックの法則と簡単な補題を3つ使って結合律を証明できた。分かってしまえば、単純計算。いやー、DOTNは強力だ。絵算とDOTNがなければ、とても計算できかったろう、僕には。念のためもう一度確認してから書く…

ムフフフ、今回の山勘は当たりかもなー。両クライスリ圏の単位律は証明できた。まず、両クライスリ圏の恒等 x.ι（恒等もDOTNで書く）を次のように定義する。 x.ι := x.(ε|η) = x.ε ; x.η 図式順両クライスリ結合を f # g として、x.ι # f = f を示せばいい。…

とりあえず使う予定の等式を列挙。ここでは反図式順は一切使わずDOTN。（http://www.chimaira.org/docs/DOTN.htm）μ::GG⇒G の自然性 f.G.G ; y.μ = x.μ ; f.G η::I⇒G の自然性 f ; y.η = x.η ; f.G δ::F⇒FF の自然性 f.F ; y.δ = x.δ ; f.F.F ε::F⇒I の自然…

FがC上のコモナド、Gがモナドのとき、F(X)→G(Y) というCの射を X→Y という射だと思って、両クライスリ圏を構成したい。どうしたらいいか？ という話。F = (F, δ, ε), G = (G, μ, η) だとする。ほかに、τ::FG⇒GF があるとする。τはスワッパーと呼ぶ。f:F(X)→G…

MをC上のモナドとして、K = Kl(C, M)をクライスリ圏とする。対応(-)--:C→K と (-)∨:K→C を次のように定義する。 X-- = X (f:X→Y)-- = f;εY:X→M(Y) (X→Y in K) X∨ = M(X) (k:X→M(Y))∨ = M(k);μY:M(X)→M(Y) (-)--と(-)∨が実際に関手であることを計算してみる。…

僕好みのネタを見つけた。「キチガイ」が差別用語にされているようだからクレイジーを使うが、超キチガイ計算のほうが“いい語感”だけどな。[追記] http://ck.mailmag.livedoor.com/ck/20090009bec47c0c080b4d015c/ [/追記]Cが、直和または直和に似たモノイド…

無限大を含む算術（Erlang実装）の件：まず、おおざっぱに符号の掛け算： × - 0 + - + 0 - 0 0 0 0 + - 0 + これはいいよね。無限大を含む掛け算、n, n'は有限負数、p, p'は有限正数。 × -∞ n 0 p +∞ -∞ +∞ +∞ 0 -∞ -∞ n' +∞ nn' 0 pn' -∞ 0 0 0 0 0 0 p' -∞…

T = T^2 // 右辺を2-展開 T = T + T^3 // 左辺を T → 1 + T + T^3 1 + T + T^3 = T + T^3 // 両辺からTを消去（移項を使う） 1 + T^3 = T^3よって、T = T^2 ⇒ Z = N が出る。Z ≠ N（0 ≠ (-1)）を示したいなら、T ≠ T^2 を示せ。1 = (-1) だとすると、U = N、…

「『二分木領域＝T』の多項式で生成される圏」という状況は後で正確に説明する（たぶん）。その圏の無限領域だけを集めた圏をBとする。Bのバーンサイド環（結局は環になる）がつぶれるかどうか、という問題。「1 = 0」が成立するとつぶれる。「-1 = 0」でも…

http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/20081030/1225349010 の計算は： [a + [b] ] = [a + b] [a[b] ] = [ab] の２つから全部出る（下付きnは省略した）。1番のaを0、または2番のaを1にすれば、[ [a] ] = [a]。1番のbに b + c を入れれば、[a + [b + c] ] = …

Seven Treesの背景。Tが二分木の領域だとして、 Z := {1 + (-1) =} 1 + T3 U := {1 + Z =} 2 + T3 N := {Z - 1 = (-1)} = T3 と置く。波括弧内は、非形式的な心理的動機。 Z + Z = Z 展開予定を丸括弧、展開後を角括弧 Z + Z = 1 + (T^3) + 1 + T^3 // X^3 =…

定数、変数はすべてN上で考える。 [k]n = k if k＜n [k]n = n if k≧n 参考：'[' #91 だよ。 [ [k]n]n = [k]n [a + b]n = [b + a]n [ [a + b]n + c]n = [a + b + c]n [ [a]n + [b]n]n = [a + b]n [a[b]n]n = [ab]n n∈Nを固定したうえで、 a(+)b := [a + b]n a…