高次圏論
次のようなシーケントスタイルの定義は、 For C in Cat, D in 0Cat For FO : C.Obj → D.Obj in Set For FM(A, B in C.Obj) : C(A, B) → D(FO(A), FO(B)) in Set Define F : C → D in Cat // F is-a-functor :⇔ F = (FO, FM) SuchTaht ... End仕様としてまと…
随伴に関する注意事項 - 檜山正幸のキマイラ飼育記で書いた、「構造か命題か」の問題があるので、構造としての随伴対は、adj(L -| R) と書いて、L -| R は命題として使うことにする。ほんとは絵で描くのが良いのだが、なんとかアスキーで定義を書いてみる。…
dRAdjL, dLAdjR を随伴系の二重圏だとする。その構成素〈constituents〉は、 0-射は圏（または厳密2-圏の対象） 垂直1-射は随伴系を左関手方向で考えたもの。 水平1-射は関手（または厳密2-圏の射） 2-射は、右または左の四脚2-射 右四脚2-射、左四脚2-射と…
モナドの圏を σMndγ(K) の形で書く。σは圏のソート、γは圏の修飾子とする。まず、修飾子は形容詞を組み合わせて作る。 形容詞記号 意味 L 左 R 右 Alg 1-射が代数的 EM アイレンベルク／ムーア、1射が右斜め加群 Kl クライスリ、1射が左斜め加群 S 単純、2-…
仏教なのかな？ 非本質〈non-essential〉、無基底〈groundless〉 相互依存性 無限階層性 多様性 自由性 非本質と無基底は同じことだから、ひとつにまとめて無本質〈essence-free〉がいいかな。"-free"は「…から逃れている」「…を使わない」「…に頼らない」の…
Title: On the Unicity of the Homotopy Theory of Higher Categories Autohrs: Clark Barwick, Christopher Schommer-Pries Pages: 45p URL: https://arxiv.org/abs/1112.0040 発表は2011年末（30 Nov 2011）だが、今年（7 Aug 2018）が最新版。最新版（v5…
通常の有向グラフとの対比 有向グラフ 一般箙 辺、アロー セル、ジェネレーター 辺集合 セル集合 パス コンポジット 連接 ペースティング 幾何グラフ 幾何実現 「ダイアグラム」は箙から圏への写像に意味でとっておきたいので、「コンポジット」とした。「コ…
主座標、主方向：n次元ムーア矩形のn番目の座標、方向 始面：主座標値が0である(n-1)-面 終面：主座標値が最大値である(n-1)-面 側面：始面と終面以外の境界面 恒等：主方向に関して定数である特異矩形／球体 退化：主方向がゼロ幅である矩形や特異矩形
R = [0, r1]×...×[0, rn] をムーア矩形として、R|0 := [0, r1]×...×[0, rn-1]×{0} とする。始点、底辺、底面（床）の意味になる。∂(R|0) は底面矩形の境界になる。∂(R|0)×[0, rn] をRの側面と呼ぶ。側面での値が、底面矩形∂(R|0)での値の自明拡張になってい…
1-射だけでなく、k-射も考えよ。 対象の内部を覗くな。
今思いつく内在化 自然変換の成分を取る。 指数（内部ホム）で外部ホムを内在化する。 格下げ（demotion）で外部の射を対象にする。 上記の特殊例として、関手の値を取る。 より一般に、格下げで外部のn射を(n-1)射にする。 外在化は、 格上げで対象を射とし…
低次元高次圏の人。タス〈tas〉（複数形はタイシー〈teisi〉）やトランスフォーを言い出した人。タスはあんまり流行らなかった。3,4次元あたりの圏のなかで扱いやすいものをタス〈stackのウェールズ語〉と名付けている。ウェールズ語って、英語とはだいぶ違…
絵のスキャンと解説。赤でグチャグチャしてる所は間違い。一番上段の黒は、ツリーの変形過程。同じことをキチンとスタッキングした図（ドミノ図）で描く。メタ結合律子の適用箇所は“グニ”で明示的に示す。結合度が強い2つのワイヤーのあいだは時に着色する。…
先ほど、デカルト無限タワーの記述 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 で描いた絵、これはちょっと違う。ちゃんと描くと、メタ結合律子α'（の成分射）が何箇所かに出てくる。α'の3添字成分は、Cat内の射だから関手になる。α'自体が自然変換（つうか2射）で…
「デカルト構造の無限タワー： 怖がらずに登れ」にて： 僕が見た範囲では、デカルト構造のキチンとした循環定義は公開されてないようです。内容的には“当たり前のことの再確認”なので、誰もやりたがらない作業なのかな？ できれば、デカルト構造の全貌（＝無…
C. Kachour, ω-Operads of coendomorphisms and fractal ω-operads for higher structures / 24p / http://cgasa.sbu.ac.ir/article_10527_391dbbec71f3cd9c77ef8d4d484a2ed9.pdf C. Kachour, Operads of higher transformations for globular sets and for …
category theory in tha large、または large-scale category theory。
P量： Potential, Position, Place, Point D量： Difference, Displacement, Distance アフィン空間に、点の空間とベクトルの空間があり、点の空間の座標がP量、ベクトルの空間の座標がD量。[追記]P量が圏の対象、D量が圏の射、高次圏を考えれば、2D量、3D量…
深さを定義するためにn-集合を定義した。n-圏に深さが定義できるとは限らないが、深さが定義できる場合は： Cがn-圏（n = 0, 1, ...）のとき、Cのすべての対象（0-射）がd-集合（d = 0, 1, 2, ...）のとき、dをCの深さと呼ぶ。 例えば： アトムだけからなる…
n-集合（n = 0, 1, 2, ...）という概念を定義する。これを定義するには「アトムを持つ集合論」とそのモデルが必要になる。例えば、ZFCをアトムを持つように修正したものをZFC+Atomとして、Vをそのモデルとすると、アトムのクラスVatomがある。アトムを持つ集…
Σ(n∈N| Wn)×{r∈N} でインデックスされた圏の集まりを考える。インデックスセットである Σ(n∈N| Wn)×{r∈N} は格子と呼ぶ。 Wnは、n-圏の弱さ〈weakness〉の集合→高次圏： 複雑さの2つの方向と半厳密性 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 rは階数の集合。集合論的階…
dense functor →https://ncatlab.org/nlab/show/dense+functor copower →https://ncatlab.org/nlab/show/copower inverter / coinverter →https://ncatlab.org/nlab/show/inverter inserter / coinserter →https://ncatlab.org/nlab/show/inserter equifier …
代数的定義形式とアンビエント構造 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の続きで、ローヴェル・セオリーを可能とするフレームワークについて。ローヴェル・セオリーローヴェル・セオリーの導入・説明では、有限集合の圏FinSetの骨格として、基数（それ自身集…
0≦k≦n に対して、(n, k)-シングルトン圏と呼べるn-圏がある。 (n, 0)-シングルトン圏は、ただ1つの対象〈0-射〉を持ち、すべての射が恒等射（自明射）であるn-圏。 (n, k)-シングルトン圏は、ただ1つの非自明なk-射を持ち、それ以外のすべての射が恒等射（自…
トランスフォーマーを考えると、定義体の内部で使う名前の供給源として、 名前は環境から供給される（名前は環境内のモノを参照する） 名前は引数から供給される（名前は引数内のモノを参照する） 名前はパラメータから供給される（名前はパラメータ内のモノ…
n-圏Cがあるとして、この対象が何であるによって扱いが変わると思う。 |C|∈0-Cat であるとき、Cの深さは0。このとき、対象類＝0-モーシングは集合。 |C|∈1-Cat であるとき、Cの深さは1。このとき、対象類＝0-モーシングは圏。圏を対象とするn-圏。 |C|∈2-Cat…
Standard MLではモロに関手（functor）と呼んでいるのだが、やり過ぎだと思うので： トランスフォーマー： 現状、これを使っている。問題は、自然変換のトランスフォーメーションと似ていること。 リダクト： インスティチューションではリダクト関手（reduc…
第一級オブジェクトとしてのトランスフォーマーを考えると： トランスフォーマーに名前を付けられる。名前無しでも扱える。 概念的には、トランスフォーマーが等しいかどうかを判定できる。現実的には無理なこともある（つうか、たいていは無理だけど）。 ト…
今まで、指標はコンピュータッドの同義語としてきたが、どうも違う。その違いは指標は名前（ラベル）があること。単なるグラフとラベル付きグラフの違い。2つの指標をとると、まったく無関係とは限らない。ラベリングによって、必然的にスパン構造＝貼り合わ…
相対指標とパラメータ化指標は同じ概念である。が、相対指標は原理的で、パラメータ化指標は実用的。Σが指標のとき、指標に出現するすべての名前の集合を全名前集合〈whole name set〉と呼ぶ。全名前集合の部分集合を単にΣの名前集合〈name set〉と呼ぶ。指…
