圏論的宇宙とレルム格子

Σ(n∈N| W_n)×{r∈N} でインデックスされた圏の集まりを考える。インデックスセットである Σ(n∈N| W_n)×{r∈N} は格子と呼ぶ。

• W_nは、n-圏の弱さ〈weakness〉の集合→高次圏： 複雑さの2つの方向と半厳密性 - 檜山正幸のキマイラ飼育記
• rは階数の集合。集合論的階数ではなくて、U₀, U₁, ... と並ぶグロタンディーク宇宙の系列の番号。
• N∈U₀ と仮定するので、空宇宙と有限宇宙（HF）は入れない。

この状況で、ρ∈W_n と r∈N に対応する圏を (ρ, r)-レルム〈(ρ, r)-realm〉と呼ぶ。次のように書くことにする。

• ρn-Cat_#r

対象化原理は次のように書ける。

• ρn-Cat_#r ∈₀ τ(n+1)-Cat_#(r+1)

さらに、kという整数値パラメータを付け加える。

• ρn-Cat_#r↓k

ここで、k≦(n + 1)。一般に、n-圏Kに対して、K_↓kは、Kに存在する射で、次元がkを超えるものを捨てたもので、(k + 1)-射は真偽値になる。この操作をk-切り落としと呼ぶ。ρn-Cat_#r↓kは、ρn-Cat_#rをk-切り落とししたものである。

Σ(n∈N| W_n)×{r∈N} が順序構造を直和した構造で、それにrとkの整数値パラメータを直積した格子空間の各点にレルムが付着する構造ができる。このレルム格子が、（今のところ）圏論的宇宙と言っていいだろう。