"Monoidal Topology, A Categorical Approach to Order, Metric and Topology" 508ページのPDF http://sweet.ua.pt/dirk/artigos/HST14_Monoidal_topology_A_categorical_approach_to_order_metric_and_topology.pdf モノイド概念がトポロジーにも使える、と…

コンピュータッドがモノイダルとは、各次元のセル（セルはコンピュータッドの要素）の集合に対してモノイド積を許すもの。0セルに対して厳密モノイド＝自由モノイドを作って、それを0-ダイアグラムとして使う。1-セルにも厳密モノイド積を入れて、1-コンピュ…

ダガー圏の表示として次のものを考える。 箙 箙のパス等式系 パス等式系は、辺の連接とダガー演算を使った形式的な項のあいだの形式的な等式の集まり。箙から生成した自由ダガー圏を、パス等式系で割り算してダガー圏ができる。ダガー圏の表示をダガー表示と…

紆余曲折の結果、今はマテリアル計算にするか、と思っている。 ネアンデルタール計算 → ギャートルズ計算 → マテリアル計算 素材と操作は： ドット （シン）ワイヤー シース ケーブル ボールド（またはファット）ワイヤー ワイヤー、ボールドワイヤー、ケー…

ストライブ計算とケーブル計算は同じこと。ギャートルズ計算＝マテリアル計算の立場からはケーブル計算と呼ぶのが適切かな。ストライブ計算は、C, Dがモノイド圏か2-圏のときに、関手圏[C, D]内の計算をすること。特に、ラックス・モノイド関手、タイト・モ…

triangle identities ＝ ニョロニョロのこと（2つある） pentagon identity ＝ マックレーンの五角形等式 五角形等式と一緒に出て来る三角形等式の立場はどうなるんじゃい?!https://ncatlab.org/nlab/show/monoidal+category によると、やはり triangle iden…

絵をテキストで表示する。まず、ベータの定義： β0 := I^ :: I⇒I : 1→1 βn+1 := [(I ∇n I)^*α'];[βn∨I^] :: I∨∇n ⇒ ∇1+n : 1+n → 1プサイの定義： ψ1, m := βm :: I∨∇m ⇒ ∇1+m : 1+m → 1 ψn, m := [(∇n I ∇m)^*α];[∇n^∨βm];[(∇n ∇m I)^*α'];[ψn,m∨I^] :: (∇n…

ラクソイドは止めた。モノイドン（monoid + on）。もっとも、内輪専用で、通常の用語に戻るかも知らんけど。オン（-on）には何の意味もない。既存の語の後に-onを付けて新語を作る、というルールがある。例： set → seton セットン pointed set → - pointed …

ラックス・モノイド関手をラクソイド（laxoid）と呼ぶことにする。オプラックス・モノイド関手はコラクソイド。タイト・ラクソイド＝タイト・コラクソイド。厳密は考えてもしょうがない。結合律子とラクソイドの関係を長年気付かなかったのは、やはり記法の…

モノイドとラックス・モノイド関手の一般化としてn-複ラックス・モノイド関手（n-multi lax monoidal functor）という概念を考えることができる。C1, ..., Cn, Dがモノイド圏として、 F:C1× ... ×Cn→D というn項関手 μA,B:F(A)F(B)→F(AB) という自然変換 ε:I…

高次モノイド指標と論理 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編でモノイダッド（monoidad）なんて造語を出したが、モノイデール（monoidale）という概念がある。 高次の圏での monoidal structure 次にモノイデールの記述があるらしい。 https://arxiv.org/abs/…

発音できるアクロニム DAFTOC（ダフトック） - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の追加。 形容詞 曲面 有限 コンパクト Directed co-directed Acyclic trended Fluent no-divergent Fat oriented Trivalent triangulated Open End in/out boundary edge/segm…

Directed Acyclic Fluent Trivalent Open Closed で、グラフに対する形容詞。 Directed 辺に向きが付いている Acyclic サイクルが存在しない Fluent 入次数、出次数のどちらも0ではない。吸い込み、湧き出しがない。 Trivalent 内部ノードがすべて三価 Open …

コンパクト閉圏と関係する圏：系統図 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 で次のような絵を描いた。ケリー双対といろいろな圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 では表にまとめている。セリンガーによる整理は セリンガーえらい！さすが！！ - 檜山正幸の…

https://arxiv.org/pdf/1004.1533v3.pdf より To simplify the notation, we will assume that C is a strict pivotal category, i.e. that V** = V . As is well-known, this is not really a restriction, since any pivotal category is equivalent to a …

アクテゴリーは加群圏と同じだと思うが、 https://ncatlab.org/nlab/show/actegory http://arxiv.org/pdf/0707.1609.pdfEquivariant monads and equivariant lifts versus a 2-category of distributive laws 斜めモノイド圏は、 http://arxiv.org/pdf/1201.…

Cをモノイド圏として、C上の加群圏は定義できる。so-calledフォークロは、ケイリー型の表現を与えると言っていい -- Dを台とする加群＝D上の表現 ということだ。加群圏の場合は、表現がモノイド関手である、という条件が付く。一般化されたテンソル強度を使…

F = (F, μ, η, τ)が強モナドのとき、テンソル強度を使ってF(1)上のモノイド構造を入れることができる。このモノイドをFの先端モノイド（apex monoid）と呼ぶことにする。ApexMon:StrongMonad(C)→Monoid(C) という関手となる。例えば、Listモナドの先端モノイ…

こんな図で、バンドリングを表す印をモノイド・バンドラー（monoidal bundler）と呼ぶことにしよう。モノイド・バンドラーを他の方法（例えば、細い糸）で描くこともある。モノイド・バンドラーは、描画時に使う小道具と思っておけばいいが、多圏を使えば（…

モノイド関手には、厳密、強、ラックスがある。テンソル強度（tensorial strength）にも、同じ区分があっていいが、強強度ではヒドすぎる。厳密、タイト、ラックスを使うことにする。 厳密モノイド関手 タイト（緊）モノイド関手 ラックス（緩）モノイド関手…

僕が定義する多圏は、三部結合（tripartite composition）を持つ多圏だ。多射は、三部スパイダー（tripartite spider）。

モノイド圏の一貫性は難しい。定理の記述も色々ある。http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-769-topics-in-lie-theory-tensor-categories-spring-2009/lecture-notes/MIT18_769S09_lec03.pdf にある次の形が使いやすいように思う。 Let X1, ..., Xn ∈ …

この話題については、コボルディズム、TQFT、オペラッドとか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編にまとめてある。上記の記事と、ルビンの壺と意味論 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編から参照していたジョーンズ（Vaughan Jones）のスライドがドメイン（qq…

モナドに対する強度ではなくて、自己関手に対して強度を定義する。左強度、右強度、左余強度、右余強度がある。強度は、強度作用と強度単位から構成される。余強度は、余強度余作用、余強度余単位から構成される。強度は一種の加群構造なので、加群構造＝作…

モノイド圏Cは自分の上に加群圏だが、加群圏のカリー同型定理（本編で扱ったフォークロア）により、End(C) へのモノイド関手が決まる。このモノイド関手の乗法（あくまで関手の乗法）がモノイド積の結合律子（associator）で、モノイド関手の左右の単位がモ…

モノイド圏上の加群圏の実例 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 僕が加群圏にちょっと興味をいだいたのは、変則的なラムダ計算のモデルとして加群圏が使えないかな？ と思ったからです。思っただけで、よく分かってません。 よく分かったぞ。少なくとも「積分を入…

Galois Theory for Braided Tensor Categories and the Modular Closure (1999) Michael Mueger http://arxiv.org/abs/math/9812040 39 pages From Subfactors to Categories and Topology I. Frobenius algebras in and Morita equivalence of tensor categ…

コンウェイ随伴はコンウェイ半環（等式的クリーネ／コゥゼン半環）係数の行列圏に行列スター公式を入れた圏が、制限付きのトレース付き半加法圏と圏同値であることを主張する。コンウェイ／淡中随伴は、コンウェイ随伴を淡中双対性の枠内で考えたもの。

http://www.mta.ca/~gcruttwell/publications/thesis4.pdf p.27に、[0, ∞]を圏とみなした場合のコエンドの公式が出ている。 L([x]) = ∧{φ(x+h) : h∈H} これはマスロフ畳み込みで、普通の世界だとこれのベキ等版がマスロフ畳み込み。だが、なんでここで出てく…

Cを舞台となる圏とする。Cは対称モノイド圏、対称じゃないと左右の交換が出来ない。ブレイド圏でもいいが、左右の交換が面倒になる。さらに、Cは閉圏で、モノイド完備だとする。モノイド完備とは、圏として完備で、特定対象によるモノイド積関手（左掛け算、…