記法： コ/モナド ： モナドまたはコモナド A∨ : 上付きのチェックマーク（のつもり）は、文字修飾子。使い途はボールドなどと同じ。Aに対する演算子ではない。コモナドを表す文字・語への文字修飾に使う。 ベックの分配系は4種類あって、 モナド・モナド分…

随伴に関する注意事項 - 檜山正幸のキマイラ飼育記に関連して：次の例は、http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Berger.pdf から。ここ（以下のコピーのところ）で初めて記号'-|'が出てきている。随伴系の方向はペアの右の関手に合…

随伴に関する注意事項 - 檜山正幸のキマイラ飼育記で書いた、「構造か命題か」の問題があるので、構造としての随伴対は、adj(L -| R) と書いて、L -| R は命題として使うことにする。ほんとは絵で描くのが良いのだが、なんとかアスキーで定義を書いてみる。…

dRAdjL, dLAdjR を随伴系の二重圏だとする。その構成素〈constituents〉は、 0-射は圏（または厳密2-圏の対象） 垂直1-射は随伴系を左関手方向で考えたもの。 水平1-射は関手（または厳密2-圏の射） 2-射は、右または左の四脚2-射 右四脚2-射、左四脚2-射と…

モナドの圏を σMndγ(K) の形で書く。σは圏のソート、γは圏の修飾子とする。まず、修飾子は形容詞を組み合わせて作る。 形容詞記号 意味 L 左 R 右 Alg 1-射が代数的 EM アイレンベルク／ムーア、1射が右斜め加群 Kl クライスリ、1射が左斜め加群 S 単純、2-…

「関手オートマトン」で検索： http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/searchdiary?word=%B4%D8%BC%EA%A5%AA%A1%BC%A5%C8%A5%DE%A5%C8%A5%F3 「関手データ」で検索： http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/searchdiary?word=%B4%D8%BC%EA%A5%C7%A1%BC%A5%BF

category theory in tha large、または large-scale category theory。

C上のモナドとD上のモナドのあいだの変換を考えたい。一番有望そうなのは、弱2-関手のあいだの弱2-自然変換だろう。

THE FACTORIZATION OF THE GIRY MONAD KIRK STURTZ https://arxiv.org/pdf/1707.00488.pdf に、可測空間の分離性〈separability〉について書いてある。位相空間のT1分離性と似た話。分離性がないと、ジリィモナドの単位 ηX:X→G(X) が単射になってくれない。…

非常に広いジリィスタイル・モナドじゃなくて、ジリィモナド。次の6種がジリィモナド 一般 単位的 劣単位的 Meas MG<∞ MG1 MG≦1 Polish PG<∞ PG1 PG≦1 狭義ジリィモナドは、MG1とPG1の2つ。以下では、次の略記 G := MG<∞ G1 := MG1 用語は次のとおり： 拡散 …

本編で書いた米田モナドだが、 http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20180110/1515553121 次の論文にほとんど書いてある。 https://arxiv.org/abs/1612.03678 上記本文では、単に前層モナドと言っている。台が前層関手だから。前層モナド＝米田モナドは、PSh:Cat…

まず、nLabのカン拡張項目： https://ncatlab.org/nlab/show/Kan+extension Proposition 2.8. Let C be a small category; D have all small limits. Then the right Kan extension of a functor F:C→D of locally small categories along a functor p:C→C' …

Title: Probability measures on metric spaces Author: Onno van Gaans URL: https://www.math.leidenuniv.nl/~vangaans/jancol1.pdf これに、ユリ・プロホロフ（Yuri V. Prokhorov）によるジリー・モナド（Giry monad）の距離版の話がある。1956年発表。非…

F = (F, μ, η, τ)が強モナドのとき、テンソル強度を使ってF(1)上のモノイド構造を入れることができる。このモノイドをFの先端モノイド（apex monoid）と呼ぶことにする。ApexMon:StrongMonad(C)→Monoid(C) という関手となる。例えば、Listモナドの先端モノイ…

モノイド関手には、厳密、強、ラックスがある。テンソル強度（tensorial strength）にも、同じ区分があっていいが、強強度ではヒドすぎる。厳密、タイト、ラックスを使うことにする。 厳密モノイド関手 タイト（緊）モノイド関手 ラックス（緩）モノイド関手…

モナドに対する強度ではなくて、自己関手に対して強度を定義する。左強度、右強度、左余強度、右余強度がある。強度は、強度作用と強度単位から構成される。余強度は、余強度余作用、余強度余単位から構成される。強度は一種の加群構造なので、加群構造＝作…

モノイド圏Cは自分の上に加群圏だが、加群圏のカリー同型定理（本編で扱ったフォークロア）により、End(C) へのモノイド関手が決まる。このモノイド関手の乗法（あくまで関手の乗法）がモノイド積の結合律子（associator）で、モノイド関手の左右の単位がモ…

(F, η, (-)#) F:Obj(C)→Obj(C) η:Obj(C)→Mor(C) (-)#:Mor(C)→Mor(C) 指数型（関数型）と総称の記法で、unit = η 、ext = (-)# として unit<A> : A->F<A> ext<A, B>: (A->F<B>)->(F<X>->F<B>) ηA∈C(A, F(A)) f∈C(A, F(B)) ならば、f#A,B∈C(F(A), F(B)) やること： F~:Mor(C)→Mor(C)</b></x></b></a,></a></a>…

Title: Polycategories via pseudo-distributive laws Author: Richard Garner URL: http://arxiv.org/abs/math/0606735 Pages: 51p. のp.11に"the two-sided Kleisli category Kl(δ) of the distributive law δ"てのが出てくるが、これって両クライスリ圏だ…

次を読めば参考になるはず。 Title: Quasistrict symmetric monoidal 2-categories via wire diagrams Author: Bruce Bartlett URL: http://arxiv.org/abs/1409.2148 Pages: 18p. Title: Polycategories via pseudo-distributive laws Author: Richard Garne…

本編で次の記事を書いた。 Globularのサンプルを追加： 随伴関手対と双対ベクトル空間対 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 このての話のベースは、メイト定理だ。 https://ncatlab.org/nlab/show/mate nLabのこの記述は分かりにくいが、2-セルに関する絵を描けば…

双代数と双モノイド - 檜山正幸のキマイラ飼育記 両モナドのアイレンベルク／ムーア構成 - 檜山正幸のキマイラ飼育記

Title: Frobenius Morphisms of Bicategories Authors: John Bourke and Micah Blake McCurdy URL: http://web.science.mq.edu.au/~mmccurdy/glob.pdf これはいい解説なのだけど、記号法が独特 0-セル 英字小文字 a, b, c、エリア 1-セル ギリシャ文字小文字…

モナド・トランスポンダーという名前を使おうかと思っていたが、 トランスポンダー - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 モナド・トランスポンダー：動機 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 やめた。加群概念の拡張だから、 プロ加群 プロト加群 ウル加群 ヘ…

とりあえず定義だけ、とメモして、後で動機や意義がサッパリ分からなくなることがあるので、先に動機、経緯を書いておく。モナドは、圏C上の自己関手の圏 End(C) 内のモノイドと考える。一般に、外の圏が何であれ、モノイドに対して次の概念を考えることが出…

Gordon Plotkin and John Power "Notions of Computation Determine Monads" を眺めたが、これは分かりにくい。なんでこんな定式化するのかの意図が読めない。なんか別な定式化があるはずだ。

ストレージ代数の公理は次の記事で引用している。 Global State（ストレージ）を特徴付ける7つの公理 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 モノイド、コモノイド、双モノイド、加群、余加群、双加群と入れ替え（スワッパー）の文脈で考える必要がある。これは…

どうも、ラックス関手を用いて考えると次のようなことらしい。 次元 ラックス関手の域 ラックス関手の余域 概念 1 自明2-圏 2-圏 Cat モナド 2 2対象の余離散2-圏 2-圏 Cat 森田コンテキスト それは、STEPHEN LACKの http://arxiv.org/pdf/1209.4436.pdf に…

MとNがモノイドとして、XM→NX の形の作用（Mの右作用）を持つ入れ替え加群（モノイド・アダプター）を右入れ替え加群と呼ぶことにする。当然、左入れ替え加群も定義できる。入れ替え加群も右と左がある。まず、通常の（片側）加群と入れ替え加群の関係。M-左…

「オートマトンの圏」は色々に定義できる。色々有り過ぎて困る。優劣を論じるより、使い分けるという話だ。オートマトンを対象、トランスデューサーを射とみなすのは、模倣／双模倣の解釈に役立つ気がする。この解釈では、射が単なる状態空間の対応ではなく…