メイヤー系とコ/モナド

記法：

• コ/モナド ： モナドまたはコモナド
• A^∨ : 上付きのチェックマーク（のつもり）は、文字修飾子。使い途はボールドなどと同じ。Aに対する演算子ではない。コモナドを表す文字・語への文字修飾に使う。

ベックの分配系は4種類あって、

1. モナド・モナド分配系 (M, A, δ)
2. コモナド・コモナド分配系 (M^∨, A^∨, δ)
3. コモナド・モナド分配系 (M^∨, A, δ)
4. モナド・コモナド分配系 (M, A^∨, δ)

3,4番の分配系を混合分配系と呼ぶ。1,2番は非混合分配系〈unmixed distributive system〉。

分配系の一番目の構成素（コ/モナド）に対して、そのアイレンベルク／ムーア圏を作る。二番目の構成素（コ/モナド）は、そのアイレンベルク／ムーア圏上のコ/モナドに持ち上がる。Yを二番目のコ/モナドとして、持ち上げをY↑_δと書く。Y↑_δに対して再びアイレンベルク／ムーア圏を作る。

以上の手順で出来た圏を分配系のアイレンベルク／ムーア圏とする。

非混合分配系の場合は複合コ/モナドが作れて、それのアイレンベルク／ムーア圏を作ればいいが、混合分配系の場合は複合系が作れない！ 上記の持ち上げ方式だと、混合系を経由しないでアイレンベルク／ムーア構成ができる。

• ベック分配系（4種類） --(アイレンベルク／ムーア構成)→ アイレンベルク／ムーア圏

複合系が要らないので、自由にアイレンベルク／ムーア構成ができて、第一コ/モナドと第二コ/モナドの区別もシッカリできる。複合系を一般化してもアイレンベルク／ムーア構成は出来るかも知れない。

コマンド・クエリー分離されたメイヤー系は、コマンド・モナドのスタンピングによるモナドと、値の余代数スタンピングによるコマンドが作る、モナド・コモナド分配系になる。よって、そのアイレンベルク／ムーア圏が作れる。アイレンベルク／ムーア圏の対象は、モノイドが作用する状態空間（ラベル付き遷移系）に、クエリー構造を付けたもの。クエリー構造がコモナドの余代数であることから、副作用なし（余単位律）と内部生（余結合律）が出てくる。

メイヤー分配系の単一複合系は作れないので、持ち上げによって階層的に（繰り返しにより）定義するしかない。