モナド・トランスポンダー：動機
とりあえず定義だけ、とメモして、後で動機や意義がサッパリ分からなくなることがあるので、先に動機、経緯を書いておく。
モナドは、圏C上の自己関手の圏 End(C) 内のモノイドと考える。一般に、外の圏が何であれ、モノイドに対して次の概念を考えることが出来る。
キュリアやマースデンのような絵算を使えば、モナドのアイレンベルク／ムーア代数が、図式順で考えての右加群になることが分かる。左エリアを単位圏（自明圏）に取ればいい。
一方で、ベックの分配法則やテンソル強度は、絵算ではスワッパーとして描ける。法則性は、スワッパーによる交差（crossing）のすり抜け（slip through）法則と考えることができる。
マースデンは、異なる圏上のモナドのあいだの準同型を、境界関手とスワップ自然変換で定義している。これを加群／状態遷移の概念として捉えると、刺激（作用）に対して反応を出力する状態遷移系＝反応（応答）加群となる。
マースデンの準同型を加群的に定式化すると、C上のモナドMとD上のモナドNと、境界関手 F:D→C（エリアDとエリアCのこの順での境界線がF）とスワップ（あるいは通り抜け）自然変換φ:: F*M ⇒ N*F : D→C の組で通り抜け法則を満たすものを考えることができる。
注目すべきことは、Nを自明モナドに退化させたり、境界Fを恒等関手に退化させることで、右加群、モノイド準同型が再現することだ。ベックの分配法則も、この概念を組み合わせればいい。
この概念をモナド・トランスポンダーと名付けたい。トランスポンダーは通常の準同型のような「対応」の意味と、「加群」のような被作用体／状態の意味もある。そのため、左右の区別ができる。今定義したのは、右作用-左反応スタイルのトランスポンダー。左右を入れ替えて、左作用-右反応スタイルのトランスポンダーも考えることができる。
すり抜け法則は、次の種類がある。
- 右から左 乗法擦り抜け
- 右から左 単位擦り抜け
- 左から右 乗法擦り抜け
- 左から右 単位擦り抜け
コモナドなら、
- 右から左 余乗法擦り抜け
- 右から左 余単位擦り抜け
- 左から右 余乗法擦り抜け
- 左から右 余単位擦り抜け
双代数、フロベニウス代数、ホップ代数などに関連する概念もトランスポンダーで説明できるかも知れない。
