Tが有極集合チーム〈polarized set team〉とは、¬:T→T と P:T→{+, -} と、IごとのσI:I→¬I があって、 I, J∈T ⇒ I∩J = 空集合 --- 無共分 ¬は不動点を持たない対合である。 --- ¬の対蹠性 P(I) = '+' ⇒ P(¬I) = '-', P(I) = '-' ⇒ P(¬I) = '+' --- 反転性 (σI…

クックの三角描画法 f:X→Y に対して、fのネーム f∩:I→XY* を、同じラベル（色）の三角で表す。 f:X→Y に対して、fのコネーム ∪f:Y*X→I を、同じラベル（色）の三角で表す。 fの双対に対しては特別な描画法はしない。 セリンガーのボックス＆マーク描画法 射…

不動点を持たない対合を対蹠オペレータ〈antipodal operator〉、あるいは単に対蹠と呼ぶ。集合Aが対蹠 ¬:A→A と、極性 p:A→{+, -} を持ち、 p(¬a) = -(p(a)) が成立するとする。AのクリーネスターA＊に、対蹠を拡張する。 ¬[a1, ..., ,an] := [¬an, ..., ¬a1…

ネームとコネームに関しては、 コンパクト閉圏と絵算で理解する線形代数とシーケント計算（入り口だけ） - 檜山正幸のキマイラ飼育記 アブラムスキーのネームとかフリップとか - 檜山正幸のキマイラ飼育記 コンパクト閉圏と絵算で理解する線形代数とシーケン…

index structure for vector spaces 𝒮はベクトル空間の有限集合（空でもよい） ℬは、𝒮の空間と、その双対空間、I, I* を入れた集まり。Iは単位空間。 ℐは集合の集合 ¬:ℐ→ℐ p:ℐ→{+, -} S:ℐ→ℬ β:ℐ→Mor(Vect)、ℐの要素に線形写像を対応させるのがβ 𝒮の要素を、…

シリーズ記事として丁寧に読むといいよ。我ながら面白いこと書いている。 ラムダ計算とイプシロン計算を使って線形代数の計算 -- 随伴の例 ベクトル空間の二重の双対はどうなるか 片側非退化性から両側非退化性を導く 2つのベクトルとコベクトルの三位一体 …

二分法〈dichotomy〉とその値 ゼロ・イチ イチ・ニ 正・負 真・偽 上・下 左・右 南・北 東・西 up・down top・bottom super・sub 優・劣 主・副 主要・双対 共・反 ＿・非 ＿・反 ＿・双対 0・1 T・F +・- T・⊥ 組をどう言うか 対 ペア コンビ デュオ 三つ…

モノイド圏の対象をベクトル空間と考えるとき、モノイド単位対象を単位空間〈unit space〉と呼ぶことにする。極めて重要なことは、 単位空間はスカラー体ではない！ スカラー体とは、単位空間のEndセットのことである。Iを単位空間として、 S := End(I) した…

古式テンソル〈old-style tensor〉 極性付き複行列 非モダンテンソル〈nonmodern tensor〉 混合テンソル代数の要素 モダンテンソル〈modern tensor〉 テンソルの多圏の射 行列を極性付き複行列に埋め込むには、Mat(A, B) → MMat(B, A#) を使う。全体的に絵図…

a:I→X がindexed basisだとは、aの線形拡張a~が全単射線形写像になること。 Iをindex set、aをindexingと呼ぶ。 IがXの部分集合で、aが包含写像のとき、self indexingまたはdirect indexingと呼ぶ。 IとJのあいだに集合同型 s:I→J があって、<:b(s(j))|a(i)> = δ(i, j) が成</:b(s(j))|a(i)>…

テンソル積空間を特徴づける双線形 τ:X×Y→XY を構造写像と呼ぶ。 XY, τ(x, y), τ(A×B) に同じ記号（xy, AY）が使われる。概念的に区別せよ。 双対基底、双対フレームが、「双対ではない」ことを強く注意すべき。 双対フレーム{射}?は、フレーム射の双対の逆…

双対とニョロニョロ http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20130123/1358903906 双対と随伴、そして左と右 http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20101111/1289444548 コンパクト閉圏と絵算で理解する線形代数とシーケント計算（入り口だけ） http://d.hatena.ne.jp/m-…

圏Cに値を取る代数的複体という概念をCplx(C)と表すことにすると： Cが付点圏〈pointed category〉（零対象を持つ圏）であれば、Cplx(C)を定義できる。 Cが加法圏でないと、複体のあいだのホモトピー同値関係を定義できない。 Cがアーベル圏でないと、複体の…

ベイカー/Baker イントロ Title: An Introduction to Galois Theory (23/01/2013) Author: Andrew Baker Pages: 106p URL: http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/Galois.pdf 略記: [Baker], [Baker イントロ] 章立て：星印は印刷済 Chapter 1. Integral d…

代数の教養 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編で参考文献を列挙したが、そのなかの[Rabalo グロ風]だが、 https://fenix.tecnico.ulisboa.pt/downloadFile/395139415315/dissertacao.pdf これの目次を見ると： 3 Galois Theory of Fields 4 Galois Theory o…

分離的〈separable〉という形容詞がよく分からん。次を読むといいかも。 http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/separable1.pdf 17pages http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/galoistheory/separable2.pdf 12pages 紛らわしい記法…

メモする！ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 一般教養的なもの。 古典的数体論 と書いたこと。 参考文献 入門的なテキスト見つけた、次。 http://www1.spms.ntu.edu.sg/~frederique/antchap1.pdf antichap?.pdf のワイルドカード'?'に1から7を入れると、 …

まず、群Gの内部自己同型。a∈G を固定して、 g∈G |→ aga-1 として、この写像をΦa:G→G とする。Φaは群の圏の射になり Φ:G→Aut(G) という写像になる。Aut(G) は IsoGrp(G, G) のこと。上記のΦ、またはΦaを内部自己同型と呼ぶが、随伴作用（adjoint action）と…

特に文言がなくても、「示せ」。 半群Sで、単位元があるなら一意。 モノイドMで、x∈M の逆元があるなら一意。 Gは群。HがGの部分群であることは、x, y∈H ⇒ xy-1∈H とも言える。 クラインの四元群（four-group）Fを自分自身F上の置換群として表現せよ。 クラ…

Frobenius algebras and monoidal categories Ross Street Annual Meeting Aust. Math. Soc. September 2004 http://maths.mq.edu.au/~street/FAMC.pdf フロベニウス代数の圏でも、ニョロニョロは成立して、それによりフロベニウス代数射が可逆であることが…

あまり参考資料がない。意外と物理で使うみたいだ。バエズの"An Introduction to Spin Foam Models of BF Theory and Quantum Gravity"のP.16からの"6 Canonical Quantization via Triangulations"が三角分割の話だが、そこから先も多角形や多面体が絡んでい…

短い論文 https://arxiv.org/pdf/hep-th/0302200v1.pdf のp.5に載っている表： Physical concept Algebraic structure Boundary condition left A-module Boundary field ΨMNa HomA(Ma, N) Bulk field Φab HomA,A（(Aa)-,(Ab)+） Defect line A-bimodule Dis…

まず、可換モノイド上の総和構造 Aは可換モノイド x:I→A の形の写像の“集まり” Summable(A) がある。集合とは限らない。 Σ:Summable(A)→A がある。総和をとる作用素。 x:I→A のIが有限集合（空集合も含める）のとき、Σx は有限和に一致。 部分和の存在：φ:J→…

EGNO本 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の記事で引用した69ページの論説 http://inmabb.criba.edu.ar/revuma/pdf/v51n1/v51n1a07.pdf Title: TENSOR CATEGORIES: A SELECTIVE GUIDED TOUR Author: MICHAEL MUGER この論説だと、 ‘monoidal categories’ or…

Title: Tensor Categories Authors: Pavel Etingof, Shlomo Gelaki, Dmitri Nikshych, Victor Ostrik URL: http://www-math.mit.edu/~etingof/egnobookfinal.pdf Pages: 362p. テンソル圏の教科書、362ページの出版物がまるまるPDFで提供されている。素晴ら…

Vがベクトル空間で、A⊆V が基底とする。Aは標準的に（canonically）V*に埋め込める。この埋込みを線形に拡張すると、V→V* ができる。単射になる。 Vの基底を選ぶと、単射V→V*が決まる。 A→V*でもV→V*でもAの像は同じ集合。その像の集合をA*とする。もし、V→V…

次のエントリーから検索できる。 圏を係数とする行列やテンソル - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 形式テンソルだけ、ここで再検索： 形式テンソルの検索 http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/archive?word=%B7%C1%BC%B0%A5%C6%A5%F3%A5%BD%A5%EB 極性付…

大雑把に行って二種類の方法がある。 コア・ラベリング： ワイヤー／ノードのコアとなっている対象や射をラベルにする。文脈となっているデコレーションと共に解釈して意味が確定する。ラベルだけでは意味が確定しない。 表面ラベリング： ラベルがそのまま…

Xを平面内でX軸に対する鏡映、XをY軸に対する鏡映とする。 平面に置かれたカードに対して、FはX軸中心の裏返し（フリップ）、Rは180度の回転とする。 Sをスター関手、Dをダガー関手とする。 いずれも、生成元が2つで同じ関係を持つ4元の群となる。 XX = X, Y…

箱入りのタングルを考える。箱は例えば3次元として、上下の矩形内にn個の点をバラまいてタングルの境界とする。タングルの境界点（マーク点）に圏Cの対象、ストランドに圏Cの射を対応させて、iCラベル付きタングルと呼ぶ。Cラベル付きタングルは、構文的な存…