双対基底

Vがベクトル空間で、A⊆V が基底とする。Aは標準的に（canonically）V^*に埋め込める。この埋込みを線形に拡張すると、V→V^* ができる。単射になる。

• Vの基底を選ぶと、単射V→V^*が決まる。

A→V^*でもV→V^*でもAの像は同じ集合。その像の集合をA^*とする。もし、V→V^*が全射なら、A^*はV^*の基底になる。V→V^*の全射性は一般には保証されないが、Vが有限次元ならOK。有限次元だとして、

• Vの基底を選ぶと、双射V→V^*が決まる。
• A^*はV^*の基底となる。

自由ベクトル空間をFV(A)として、V→FV(A)→FV(A^*)→V^* と回り道しても同じ双射になる。FV(A)→FV(A^*)はAとA^*の１：１対応から自明に決まる。

A^*をAの双対基底と呼ぶ。