アーベル圏／半アーベル圏の定義
以前書いた、アーベル圏の定義の話。ゴタゴタと書く。
半加法圏と加法圏
加法圏と半加法圏は意味がある。半加法圏のほうが自然な概念だと思う。以下が条件である。
- 任意の有限離散図式に同時に極限かつ余極限であるものが存在する。
これは当然に次を含む。
- 任意の有限離散図式に極限が存在する。
- 任意の有限離散図式に余極限が存在する。
空図式を考えると：
- 同時に始対象かつ終対象である対象が存在する。
2頂点の離散図式を考えると：
- 同時に直積かつ直和ある対象が存在する。
この２つは、零対象と双積の存在になる。零対象と双積から足し算を作っていくのは純圏論的な構成で出来て、豊饒圏の議論はいらない。
半加法圏を加法圏にするのは、加法的対蹠（additive antipode）が必要。加法的堆積をネゲーション（negation）と呼びνで書くことにする。対象AごとにνA:A→A があって、ホップ代数の公理を満たすことになる。加法圏では、すべての対象に可換（対称）ホップ代数（むしろ、ホップモノイド）の構造が入ることになる。
まとめると：
- 半加法圏 = 零対象（pointed）と双積の存在
- 加法圏 = 半加法圏＋ネゲーション
プレアーベル圏
半加法圏を拡張して、次の性質を考える。
- 任意の有限図式に同時に極限かつ余極限であるものが存在する。
今度は離散とは限らない有限図式である。これは、次のことを意味する。
- 任意の共端射対に、等値射と余等値射が存在する。
核と余核の存在は自動的に従う。核は特殊な等値射、余核は特殊な余等値射だから。
以上の定義だと、極限と余極限が一致する双極限とでも呼ぶべき構成物の存在が問題になる。双極限は懸垂（suspension、錐と余錐の底面貼りあわせ）の両端をつなげた約懸垂（reduced suspension、ただし基点空間ではない）を考えた極限操作となる。双極限の存在を双完備とすると、有限離散双完備が半加法性、有限双完備が半プレアーベルとなる。もっとも、半プレアーベルという性質に意味があるかどうかは疑問。有限双完備＋ネゲーションでプレアーベル性となる。
- プレアーベル＝有限双完備＋ネゲーション＝加法性＋ker/coker
半加法圏では、ker/cokerからeq/coeqを再現できない。ネゲーションがないときは、ker/cokerに威力はないらしい。
アーベル圏
最後にアーベル性の決め手となるのは、準同型定理の成立。つまり、ker(f), coker(f), im(f), coim(f) が定義できて、Ker(f) := dom(ker(f)) のように定義するとき：
- Coim(f) と Im(f) が同型
プレアーベルからアーベルは割と素直だが、プレ半アーベルから半アーベルはゴタツク。いわゆる半アーベルの定義はめんどくさい。
ker, cokerは双極限からストレートに出るが、im, coimの定義が問題。次の定義が一般的に意味があるかどうかが疑問。
- im(f) := coker(ker(f))
- coim(f) := ker(coker(f))
この定義は、全単分解と何の関係もない。全単分解の意味での像（image）の定義には、一意分解性とか、強エピ、正則エピなどの概念が必要。半アーベル圏では、正則圏の概念に近い形で定式化しているようだ。
擬アーベル圏
擬アーベル圏（Quasi-Abelian category）という概念もある。
- Quasi-Abelian Categories and Sheaves http://archive.numdam.org/ARCHIVE/MSMF/MSMF_1999_2_76_/MSMF_1999_2_76__R3_0/MSMF_1999_2_76__R3_0.pdf
これは、準同型定理の成立を要求しない。その代わりに、準同型定理が成立するような射を厳密射（strict morphism）と呼ぶ。厳密射に関する公理と設ける。だが、厳密射がある程度は豊富にないとうまく使えないのではないかと思う。次のような事実はプレアーベル圏で一般的に成り立つ。
- fがなんでも、ker(f) は厳密モノである。
- fがなんでも、coker(f) は厳密エピである。
- fが厳密モノなら、fはcoker(f)の核となっている。
- fが厳密エピなら、fはker(f)の余核となっている。
- fが厳密モノmと厳密エピeで f=e;m と書けることと、fが厳密なことは同値。
有限双完備圏のホモロジー
計算モデルとして使うモノイド、半環、半加群などは半アーベル圏にも擬アーベル圏にもならないようだ。
計算モデルの圏が有限双完備になっていることは多い。が、たいていはネゲーションが存在しない、引き算ができない。完全列ベースでホモロジーを定義するのは難しいのかの知れない。が、完全列なしのホモロジーは意味不明だし。
