アーベル圏手前

加法圏とプレアーベル圏

1. 加法圏 -- ゼロと引き算も含めて、射の足し算が自由にできる圏。対象の双積も要求する。
2. ほんとは、半加法圏＝双デカルト圏 を定義して、それに加法的対蹠（マイナス、ネゲーション）を入れて、ホップデカルト圏（Hopf cartesian cat.）とすると、それが加法圏。
3. 加法圏に核と余核の存在を要求するとプレアーベル圏
4. プレアーベル圏に準同型定理（の形の公理）を入れるとアーベル圏

核

注意：記号の雰囲気を合わせるため、domをDomと表記する。

1. 核の定義：ker(f) = (f と 0 の等値核)、Ker(f) = Dom(ker(f))
2. 核の定義の言い換え：fをゼロ化する射のなかで普遍的なヤツ
3. 核はモノである。
4. 別な核の定義：fをゼロ化するモノ（ヤツじゃなくてmono）のなかで弱普遍的なヤツ。「弱」は存在の一意性を除いた主張。
5. fがモノなら、ker(f)はゼロである。
6. ker(f)がゼロなら、fはモノである。
7. ゼロの核は同型である（意外と難しい）。

余核

双対です。

像と余像

1. 線形代数では、KerとImが先。Coim := Cod/Im が後。
2. アーベル圏では、kerとcokeが先。im := ker(coker)、coim := coker(ker) が後。
3. Ker = Dom(ker), Coker = Cod(coker)
4. Im = Dom(im), Coim = Cod(coim)

射に平行に誘導された射

1. f:A→B に対して6頂点の系列を作る。
2. 「核の余核」と「余核の核」を付け加える。
3. Coker(ker) から B への対角線が一意に決まる。
4. Coker(ker) から Ker(coker) へのfと平行な射が一意に決まる。

一般に、この誘導された射が同型である保証はない。