以下は、氷運搬問題の例（説明は下）： A,B,C,Dの4頂点と、それを拡張した6頂点のグラフ上の力学系。重み付き隣接行列をKとする。 頂点に分布された氷の量φが状態関数＝波動関数＝コスト関数となる。φ' = Kφ が系の発展方程式。 頂点Aにだけ分布しているδ関…

Setへの忘却関手U:C→Setを持っている圏を具象圏と呼ぶ。Uは忠実な関手なので、C(A, B)⊆Set(U(A), U(B))と考えてよい。U(A)は「Aの台集合」と解釈してよいだろう。この状況で、[-, -]:|C|×|C|→|C|と、comp:[A, B]×[B, C]→[A, C] in C、 id:1→[A, A] in Cがホ…

対称モノイド閉圏があり、モノイド積による関手の随伴により内部ホムを定義して、自己豊饒化されている状況を考える。モノイド積を×、内部ホム（ホム積）を[-, -]で書くとする。デカルト閉圏やコンパクト閉圏で成立している同型と、それに類似の算術公式をま…

トラス（truss）圏構成 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 使えそうな気がしている。

僕は長いあいだ、行列は（基底を選んでの）線形写像の表現だと理解していた。これはよろしくない。線形写像の表現と思うのは行列の解釈の一例に過ぎず、それが行列の定義や本性というわけではない。要するに行列は、数を正方形、長方形、三角形、立体などに…

Title: Strict 2-toposes (Submitted on 16 Jun 2006) Author: M. Weber URL: http://arxiv.org/abs/math/0606393 53ページ Title: A BRIEF INTRODUCTION TO COALGEBRA REPRESENTATION THEORY Author: William Chin URL: http://condor.depaul.edu/~wchin/cr…

示せるはずだよね。

ベキ等な双デカルト圏において、(1+Δ);(∇+1);(Δ+1);(1+∇) = □ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 の公式から次が示せる。□ = ∇;Δ として、 □ = (1 + Δ);□;(∇ + 1) さらに、[f] = ∇;f;Δ として、 [f] = (1 + Δ);([f] + f);(∇ + 1) これは、再帰的な（入れ子…

Title: Specifying C++ Concepts Authors: Gabriel Dos Reis, Bjarne Stroustrup URL: http://www.research.att.com/~bs/popl06.pdf 14ページ 後で調べる。

行列計算には結合的な加法が必須ではない。すべてのn ≧0 に対して、長さnの列a = a[i] に対して集計値を対応させる写像Γがあればよい。Γn:An→A であって、 可換： a'がaを置換したものなら、Γ(i; a[i]) = Γ(i, a'[i]) ゼロ： aが長さ0の列のとき Γ(a) = 0 イ…

後で考える／調べる／書く - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編にて： 総称は必然なのか？ 必然だと思うが、型クラス、C++のコンセプト（という概念）、型制約、種、スラント圏、インデックスされた圏、インスティチューションなどを考慮して考えるべきだ。

区別／使い分けがわからない - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編にて： ハミルトンの原理と最小作用の原理って同じようだが？ 準備： s = s(t)（t = t0からt1）を運動のパラメータ表示とする（配位空間を動く）。(s, s')（s' = ds/dt）は相空間上での軌道（…

スウィードラー（Sweedler）が始めたとされる書き方 α = α(1)α(2) がなぜ便利なのか、やっとわかった。

「古典的」とは？ quiverの道代数、道余代数 ホップquiverの道ホップ代数 ブラフの隣接行列と道代数の関係は？ 総称は必然なのか？

早起き (see timestamp)： フェルマーの原理 ハミルトンの原理 最小作用の原理 変分原理 フェルマーは幾何光学で、ハミルトンは（解析）力学か。変分原理はかなり一般的な文脈で使うのかもしれない。が、ハミルトンの原理と最小作用の原理って同じようだが？

quiver（えびら；箙）って、有向グラフとまったく同じ概念。なんで別な用語を導入する必要があるのか？ 疑問だ。 これが箙↓ だが、quiverの表現って概念は、ズバリ！ カテグラフ。quiver表現は、k加群の圏k-Modへのグラフ写像。これはk-Modを係数圏とするカ…

マスロフ代数をうまく説明できないか？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編： マスロフ代数関係をいっぱい書いたけど。これを一般向けにうまく説明できないかな？ 書いてみた→マスロフ式算数がやたらに面白いんですけど - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなB…

マスロフ代数関係をいっぱい書いたけど。これを一般向けにうまく説明できないかな？h（あるいはその逆数のk）がプランク定数の類似物だとわかるには、DFD（グラフ上の離散物理）をやらないとしょうがないのだけど、単に計算だけも面白い気がするが、、、やっ…

遷移翻訳系モデルに細かい工夫をする - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 ここに書いてある細かい工夫を実際に適用して、ちゃんとすべきだ。

マスロフ代数上のDFDを考える。k > 0 だとして、k→+∞でmax古典極限になる。このとき、比喩的には次が成立する。 点光源から出た光は放射状に広がる。 放射状の各射線は“直線”である。 光線は二点間を直進する。 これは、変分原理（フェルマーの原理）で支配…

k→+0でマスロフ代数が崩壊するといったが、代数が崩壊しても力学が崩壊するとは限らない。グラフが一直線の形をしているときは、和を取らないので代数が崩壊していても影響がでない。つまり次元が1なら、代数が崩壊しようが力学は定義できる。より正確に言う…

TQFTとDFDは似てるがどうも違う。TQFT関手では、値の圏がテンソル圏で、F(A + B) = F(A)×F(B) と足し算が掛け算に移る、その意味で指数的。一方、DFDの関手は、アーベル圏類似の圏に値を取り、F(A + B) = F(A) + F(B) と加法的だ。TQFTではA:φ→φに対するF(A)…

当たり前といえば当たり前だが -(a □t b) = (-a) □1/t (-b) が成立する。人生で初めて使う対数の底の変換は： loga x = (logb a)-1 logb x なのだが、これにより、 log1/t x = (logt(1/t))-1 logt x つまり、 log1/t x = (-1)(logt x) これがあれば、上の等…

Exotic Semirings - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編にある表を再掲。 台集合 加法 乗法 名称 N∪{+∞} min + tropical半環 N∪{-∞} max + polar半環 N∪{+∞} min max fuzzy半環 R∪{+∞} min + optimization代数 R∪{-∞} max + schedule代数 fuzzy半環を除いて、…

成分が全部正実数のベクトル(x1, x2, ..., xn)を考える。そのp乗ノルムは、 (x1p + x2p + ... + xnp)1/p だけど、これは、n個の数のマスロフ総和と同じ。マスロフ和のときは、0 マスロフ和（総和）とp乗ノルムは何か関係あるかもしれない。ノルムのときは、…

逆プランク定数kをパラメータとするマスロフ代数Mkを考える。k > 0 で動かすとして、k = +∞ ではmax古典極限で質点ぽい動き、k = 1 では波の伝搬のような現象が観測される、k→+0 と極限を取ると、空間の位置の差がだんだんなくなるし、量の差もなくなる。「…

kは逆プランク定数として、kをパラメータに使う。kマスロフ和[+]kの対数バージョンとして a△kb = log(exp(a) [+]k exp(b)) を使ったが、これは、logt(ta + tb) と[+]kなしの形に書き換えられる。このとき、t = exp(k) となる。これを示すとき、対数の底の変…

マスロフ和、マスロフ代数で、オリジナルのhの代わりに1/hを使い、それをおなじ文字hで表してきたが、これはさすがに混乱のもと。k = 1/h として逆プランク定数kを使うことにする。

ちょっとマスロフ和萌え状態になっている。逆プランク定数h（h以外の文字を使ったほうがいいかも）に対するマスロフ半環をMh = (P, [+]h, ・) とすると、これはhでパラメータ付けられた代数の族になる。台集合は同じだ。対数マスロフ半環Lhの場合も同じ。hが…

マスロフ和の定義： a [+]h b = (ah + bh)1/h これだと、hがオリジナルの定義の逆数になっている。つまり、もともとは、 (a1/h + b1/h)h これらは h ←→ 1/h で移りあうからどっちでもいい。オリジナルでは、h = 0 で古典系にいくので、物理との対応がいい。…