マスロフ和とパラメータ付き代数族

ちょっとマスロフ和萌え状態になっている。

逆プランク定数h（h以外の文字を使ったほうがいいかも）に対するマスロフ半環をM_h = (P, [+]_h, ・) とすると、これはhでパラメータ付けられた代数の族になる。台集合は同じだ。対数マスロフ半環L_hの場合も同じ。

hが動く空間は一種のモジュライ空間みたいなもんだろう。M_hでhを動かすことは、同じ台集合P上の代数構造を連続変形していくことになる。もし、M_hに対して圏C[M_h] = C_hが対応しているなら、圏＝世界をパラメータに沿って連続変形していくわけだ。

具体的には、マスロフ半環係数の行列の圏とかリグラフの圏が考えられる。圏のなかで１つの対象や射を選んで、パラメータにそって動かすと、同一(?)物を異なる世界に旅しながら見ていくことになる。なんつうか、多世界を串刺しにする感じか。

現象と関係あるかどうかは棚上げにするにしても、マスロフ半環の世界では、hを+∞、-∞へ飛ばす古典極限操作が定義できる。古典系から、hを正の有限値、負の有限値にもってくる事が、マスロフの世界での量子化ってことになるのだろう。

話は変わるが、確率分布φがあるとき、φ^1/hを作って、hを大きくすると、正値（非ゼロ値）は1に近づいて、φは「φの台の特性関数」に近づく。これは、確率的な図形を古典図形（部分集合）へと極限を取っていることだが、1/hベキのhを大きくするって点は同じだ。

マスロフ和の単項バージョンは (a^h)^1/h で自明だが、2つのパラメータh, kを導入して、(a^h)^k としたらどうだろう？ マスロフ和は、k = 1/h（あるいはh = 1/k）のときだ。hはサマンドを平準化するか差別化（格差社会）するかのパラメータ、kは総和の最終値を調整するパラメータ。

(k, h)拡張マスロフ和は、

• (a^k + b^k)^h

代数的には全然ダメなものが出来上がるが、“n項の総和”さえできれば結合法則はいらない、というのであれば、ある程度は使える。どの程度使えるかはまったく不明。

いずれにしても、「代数法則は壊れてもいいから、離散ファインマン和が計算できればいい」という立場は意味を持ちそうだ。