マスロフ半環と対数マスロフ半環

マスロフ和の定義：

• a [+]_h b = (a^h + b^h)^1/h

これだと、hがオリジナルの定義の逆数になっている。つまり、もともとは、

• (a^1/h + b^1/h)^h

これらは h ←→ 1/h で移りあうからどっちでもいい。オリジナルでは、h = 0 で古典系にいくので、物理との対応がいい。しかし、h →+0 と h→-0を区別するから、h→+∞、h→-∞としたほうがいいような気もする。

僕の定義を採用するとして、次が成立する。

• (x [+]_h y)^-1 = x^-1 [+]_-h y^-1

これは、大小のスケールを反転したときに、hマスロフ和が(-h)マスロフ和に移ることを示している。この設定では、量の逆数写像とマスロフ／プランク定数の符号反転が対応している。

もうひとつ面白い事実。

• x△_hy = log(exp(x) [+]_h exp(y))

と定義する。△_hを対数マスロフ和と呼ぶことにする。(R, △_h, +) は半環になる。対数h-マスロフ半環と呼ぼう。普通のh-マスロフ半環(P, [+]_h, ・) と対数h-マスロフ半環は、exp, logで完全に移りあうので、代数系としては区別できない。が、max-plus代数（極地半環）やmin-plus代数（熱帯半環）が出現するのは対数h-マスロフ半環の古典極限（h→+∞、h→-∞）としてである。

h = 0 のとき（もともとののプランク定数が無限大にいくとき）、マスロフ和は定義できないが、hが正で0に近いときの状況を見ると、h-マスロフ和のサマンドが、大小に関係なく平準化され（民主主義？いや共産主義？）、その後で大きなベキにより発散してしまう。

hを複素球面で動かすとすると、0と∞に特異性が残るだろうが、他は定義されてしまうのだろうか？ だとすると、複素プランク定数の意味は何だろう？