マスロフ和と離散ファインマン和

マスロフ和という演算があって面白い。のだけど、これは単なる遊び／コジツケなのか、物理的・現実的な意味があるのか、よくわからない。

a > 0 , b > 0 だとして、実数の定数hに対するマスロフ和 a [+]_h b = [a + b]_h は、

• (a^h + b^h)^1/h

h = 0 のときはうまく定義できない。a, bが0以下のときは、何とか定義できるかもしれない。

定数hはプランク定数と呼ばれるが、ほんとの（物理の）プランク定数と区別してマスロフ／プランク定数とでも呼ぼう。マスロフ和 [+]_hは、h = 1 では普通の和、h→+∞ でmax、h→-∞でminになる。

マスロフ和を使うと、パラメータhを持つエキゾチック代数の連続族を定義できる。hの値を動かして、その代数の振る舞いがどう変わるかをウンヌンできる。

離散ファインマン和にマスロフ和を使うと、h = 1 ではすべての経路の寄与が公平に勘案され、h→+∞ ではコスト最大値、h→-∞ではコスト最小値の経路が支配的になる。h = 0 で特異性があることは何か意味があるのか？ サッパリわからん。が、経路のコストには無関係に伝搬してきた値を集約するのが h = 1 のときであり、hが正負の無限大では、コストが極値的な経路の影響しか効いてこなくなる、ということはわかる。

hをプランク定数なんて呼んでいるのは、hの値の変化で古典／量子対応を説明する気持ちがあるのだろうが、現象と対応するのかな？ 計算上のトリックのような気もするけど。