対数マスロフ和

kは逆プランク定数として、kをパラメータに使う。kマスロフ和[+]_kの対数バージョンとして a△_kb = log(exp(a) [+]_k exp(b)) を使ったが、これは、log_t(t^a + t^b) と[+]_kなしの形に書き換えられる。このとき、t = exp(k) となる。

これを示すとき、対数の底の変換公式を使うが、人生ではじめてこの公式を使ったよ。

逆プランク定数kをパラメータとするマスロフ代数をM_kとして、t = exp(k)をパラメータとする対数マスロフ代数をL_tとすると、自然対数log:P→Rは、M_kとL_exp(k)の半環同型を与える。任意の底の対数／指数が半環同型となるが、基準として自然対数を選ぶ。

tに対する対数マスロフ和を□_tとすると、

• log(a [+]_k b) = log(a) □_t log(b)

t≦0と、t = 1 では対数マスロフ和は定義できない。t→+∞でmax古典極限、t→+0でmin古典極限になる。t→1+0、t→1-0 は、それぞれ k→+0、k→-0とおなじ状況となり、代数が発散崩壊する。