行列は行列、たかが行列、されど行列

僕は長いあいだ、行列は（基底を選んでの）線形写像の表現だと理解していた。これはよろしくない。線形写像の表現と思うのは行列の解釈の一例に過ぎず、それが行列の定義や本性というわけではない。

要するに行列は、数を正方形、長方形、三角形、立体などに並べたものなのだ。それ以上でも以下でもない。たまたま、線形写像と解釈するとうまくいくときもあるが、それが全てではない。行列をそのまま図形的対象として扱うこともできるし、意味を無視して計算アルゴリズムを考えることもできる。

カウフマンの抽象テンソルとか、圏論的な行列であるprofunctor（bimodule, distributor）とかの概念は線形写像からは出てこない。カテグラフ＝箙の表現も図形としての行列の一般化になっている。

まず線形写像（機能）ありきではなくて、まず行列（図形）ありきなのだ。