アーベル圏のほうから来ました

アーベル圏とは

1. 足し算ができる圏。ゼロと引き算もあって、それらしい計算は普通にできる。
2. 完全列が定義できる圏。完全列として期待される性質をみたして、ホモロジー代数が展開できる。

だから当然に話題は：

1. 足し算の話
2. 完全列の話

足し算の話

当初は足し算の話を中心にしようと思っていた。

その理由は：

1. 完全列はよく知らない。ホモロジー代数なんて使ったことないし。
2. 圏に足し算を導入する普通の方法がヒドイ。もっといい方法を紹介したい！
3. 足し算を作る話は面白いし、役に立つ。ホモロジー代数より身近だ。

足し算の話はやめました

• だが、足し算を作ってみるだけだと、「どこがアーベル圏なの？」となる。

足し算の話はやめましたけど

圏に足し算を導入する普通の方法がヒドイ。
とは言っておく。

1. 強い対称性（自己双対性）が見えない。
2. デカルト圏との関係が見えない。アーベル圏とデカルト圏が無関係に見えてしまう。
3. 加法構造（実は半加法構造）の一意性が見えない。直感的には一意性が分からず、別に証明を要する。
4. 内在している対角コモノイドの存在が隠れてしまう。
5. 内在している加法的対蹠（additive antipode）の存在が隠れてしまう。
6. 一般的に有用な「モノイド、余モノイド、双モノイド、ホップモノイド」の枠組みが隠れてしまう。

つまり

• 足し算をいきなり入れてしまうのは不自然だし、あまりにももったいない 。

• だが、足し算を作ってみるだけだと、「どこがアーベル圏なの？」となるので …

足し算の話はやめたので

1. アーベル圏では、共端な射（parallel pair）は足し算できると天下りに言う。f + g が和。
2. アーベル圏では、ホムセットごとにゼロが決まっていると天下りに言う。0_A,B がゼロ。面倒だからたいていは単に 0 。
3. アーベル圏では、結合（composition; 合成）に関して左右の分配法則が成り立つと天下りに言う。
4. アーベル圏では、引き算もできる、あるいは射のマイナスがあると天下りに言う。

天下りはよくない。が、背に腹は代えられない (どこが背? 腹?)。

完全列の基本は

1. 完全列の基本は加群の準同型定理
2. アーベル圏における準同型定理を目指そう。
3. って、準同型定理（の形をした公理）って、アーベル圏の定義の一部なんですけど。
4. つまり、アーベル圏の定義を目指そう。
5. 目指す場所が定義なのか!?
6. 入門にさえなってない。

だから

アーベル圏のほうから来ました。

アーベル圏のほうに一緒に行きましょう。