基本的な用語がわからない

本編に書いたことがあるが、「単純」とか「既約」とか、割と基本的な用語がかえって難しい、という話。

1. 環が非自明なイデアルを持たないとき「単純」（simple）と呼ぶ。
2. 加群が非自明な部分加群を持たないときも「単純」でいいだろう。
3. しかし、既約加群という言葉も使われる。
4. 表現に対しては「単純」じゃなくて「既約」（irreducible）と呼ぶ。既約表現＝単純加群

単純の双対の余単純は「非自明な商対象を持たない」として定義できる。単純加群（＝既約加群）とは別に、直既約加群（indecomposable module）という概念がある。

• 直既約加群とは、{0} でないふたつの部分加群の直和に書くことができない加群のことをいう。任意の既約加群は直既約加群だが逆は必ずしも成立しない。

直既約とは、分解可能（decomposable）じゃないことだが、ここの分解は直和分解。モノイド積による分解まで拡張は当たり前にできる。

それはそうと、Rがスカラーの条件として、R = End(R) （同型）という条件をたまに見る。これは、内部ホムがある状況じゃないと正しく程式化できない。内部ホムを [-, -] と書くことにして、R = [R, R] が条件。

計算科学で出てくる概念と一緒にまとめる。0, 1は始対象と終対象、□, I がモノイド構造、[ , ] が内部ホムとする。

1. 0 と id 以外に部分対象を持たない対象は単純または既約
2. 単純対象の積（□の意味で）に書けるなら半単純
3. x = x□I 以外にモノイド積分解を持たないなら直既約
4. [x, x]がxの部分対象（[x, x]→x というモノを持つ）ならxは反射的対象
5. 任意の対象からのモノを持つなら、xは包摂的（subsumpting）対象

リー環の半単純性は「根基が消えている（0 でない可換なイデアルを持たない）ようなリー環は半単純 (semi-simple) であるという。」となっているな。

その他、いろいろな「半単純」の例：

• A semisimple module is one in which each submodule is a direct summand.
• A semisimple algebra (or ring) is one that is semisimple as a module over itself.
• A semisimple operator (or matrix) is one for which every invariant subspace has an invariant complement. This is equivalent to the minimal polynomial being square-free. Over an algebraically closed field it is equivalent to diagonalizable.
• A semisimple Lie algebra is a Lie algebra that is a direct sum of simple Lie algebras.
• A semisimple algebraic group is a linear algebraic group whose radical of the identity component is trivial.

包摂的は今僕が考えた。普遍的という言葉を使う例もあるが、良くないと思う。反射的かつ包摂的であり、外の圏の構造を移す機構が備わっているときに、普遍的（むしろ万能）対象と呼ぶべきだろう。外の圏がデカルト閉などでないとあまり意味を持たないかもしれない。