何もない所に総和構造
まず、可換モノイド上の総和構造
- Aは可換モノイド
- x:I→A の形の写像の“集まり” Summable(A) がある。集合とは限らない。
- Σ:Summable(A)→A がある。総和をとる作用素。
- x:I→A のIが有限集合（空集合も含める）のとき、Σx は有限和に一致。
- 部分和の存在：φ:J→I が単射のとき、Σ(φ;x) は定義される。
- 一般可換律：σ:I→I が双射（置換）のとき, Σ(σ;x) = Σx が成立する。
- 一般結合律：φ:I→J が全射のとき、Σ(j∈J|Σ(i∈φ-1(j)|x(i))) = Σx
なのだが、
- Aが可換モノイドとは仮定しない。基点付き集合として、基点を0と書く。
- 有限和を仮定しない。
- 空の和は0, 単一元の和はその元
- したがって、x:I→A として、Iが単元か空なら総和可能になっている。それ以上は仮定しない。
- 部分和の存在、一般可換律、一般結合律は仮定する。
