Complete Semirings
部分加法的圏との比較で、完備半環（complete semirings）の定義を書き記す。これは、ゴランの本（壊れた！）の22章"Complete Semirings"からの引用。
Rは半環で、Aはθ:Ω→Rという形の写像の集合。θ∈Aのとき、θは許容的（admissible）と呼ぶ。A上でsummationΣが定義されるので、「許容的⇔summable」だと思ってよい。Σ:A→Rがsummationであるとは：
- Ωが空なら、Σθ = 0
- Ωが有限集合なら、Σθ = 普通の和
- θが許容的なことは、次と同値； 任意のr∈Rに対してrθとθr（左右のスカラー倍）が許容的。さらに、分配律 Σ(rθ) = r(Σθ)、Σ(θr) = (Σθ)r が成立。
- (Ωj : j∈Λ)がΩの分割だとする。θが許容的なことは、次と同値； θのΩjへの制限をθjとすると、すべてのθjが許容的であり、ψ(j) = Σθj で定義されるψ:Λ→Rも許容的。さらに、一般化された結合律 Σθ = Σψ が成立。
(1),(2)が通常の有限和との整合性を主張する。分配律は乗法が絡むから後にして、(4)が結合律。連続性に相当するものが直接はないのだけど、結合律から出るのか？ とにかく、partially additive monoidとの関係を調べるべき。それと、明示的な可換性はないのだけど、I→Jが双射のとき、総和が不変であることは示すべきだろう。
有限加法が定義されていない状況で総和Σを定義してもしょうがないので、有限加法を前提にする議論でいいと思う。つまり、モノイド上のadditionalな構造としてsummationを考えればそれでいい。
さて、許容的な写像（添字族）の類（集合にはならない）Aと、A上のsummationが与えられた状況で、(R, A, Σ)をA完備な半環と呼ぶ。Aが「Ωが（たかだか）可算な集合」として与えられているとき、A完備性を可算完備性（countably complete）と呼ぶ。またAが任意の添字族を含むとき、単に完備、または全完備(fully complete; これは檜山の用語）と呼ぶ。
用語「完備」は、「完備束」との用語的相性がいい。可算完備はω完備でもいいかな。partially additive monoidはヤダ、完備モノイド、可算完備モノイドのほうがいい。A完備モノイドもいいと思う。完備モノイドの圏は、summationを保存する写像を射とすれば定義できるだろう。この圏の直積やベキ（指数）がどうなるかな？
