パリク写像

• Ψをアルファベットとする。（Σは総和に使うので）
• NΨ をN係数でΨから生成された可換モノイドとして、これをパリク格子と呼ぶことにする。パリク・ベクトル空間と呼ぶことが多いが、混乱の危険があるから。
• Ψのクリーネスター＝自由モノイドからΨのパリク格子に出現を勘定する写像が定義できる、これがパリク写像。
• パリク写像はモノイドの準同型になる。
• 総和完備な半環Kを係数とする畳み込み多元環を作る関手は共変関手となる。
• パリク写像をその共変関手で移すと、Σ上の言語をパリク格子言語に写す写像となる。
• 言語を畳み込み多元環の元と考える、言語クラスを多元環の部分集合と考える。
• 正規言語のクラスは、埋め込まれたΣから生成された部分多言環となる。
• 正規言語のクラスは準同型で正規言語のクラスに移る。
• パリク格子上の正規言語とは、アフィン線形集合の和である。

単なる多元環ではダメで、コンウェイ多元環を基礎環とする圏が必要なのか。

やっぱり、パリクの定理やマイヒル／ネロードの定理を考えるのは役に立つ。