そうか、クリーネスターが埋没していた

総和完備な半環上の加群の圏を考えて、加群も和に関して完備、写像は総和連続だとする。そのような圏では、クリーネスターが自動的にクリーネスターに移るので、クリーネスターを意識する必要がない。

意識する必要がないので忘れていたが、単に半環／多元環ではなくて、コンウェイ多元環を考えていたはず。よって、加群も単なる加群ではなくて、完備コンウェイ多元環上の完備コンウェイ加群となる。

コンウェイ加群Aの定義は、Rがコンウェイ多元環として、R→[A, A] がコンウェイ多元環の準同型になればよい。加群台Aは、Rの表現空間になっている。完備は表現なら自動的にコンウェイ表現になる。それが落とし穴だった。

コンウェイ構造＝クリーネ構造＝不動点構造＝再帰構造をきちんと考慮した形で加群圏＝表現の圏を作らないと、オートマトンや形式言語理論の香りがなくなってしまう。例えば、正規言語の理論がうまく扱えない。

再構成定理は、コンウェイ／クリーネ構造を持った双代数を再現することになるのだろう。これ、難しいな。内積による双対があれば出来るのか？