ベクトル空間のインデックス構造とスカラー構造

index structure for vector spaces

• 𝒮はベクトル空間の有限集合（空でもよい）
• ℬは、𝒮の空間と、その双対空間、I, I^* を入れた集まり。Iは単位空間。
• ℐは集合の集合
• ¬:ℐ→ℐ
• p:ℐ→{+, -}
• S:ℐ→ℬ
• β:ℐ→Mor(Vect)、ℐの要素に線形写像を対応させるのがβ

𝒮の要素を、指定されたベクトル空間〈specified vector space〉または選択されたベクトル空間〈selected vector space〉、ℬの要素を基本ベクトル空間〈basic vector space〉と呼ぶ。ℐの要素をインデックス集合〈index set〉と呼ぶ。

1. 単位性 1∈ℐ、1は単元集合
2. 無共分性 A, B∈ℐ、A ≠ B ならば A∩B = 空集合
3. 有動対合（有動 ＝ 不動点なし）
   1. ¬¬ = id_ℐ
   2. ¬A ≠ A
4. 極性と対合 p:ℐ→{+, -}、p(¬A) = p(A)' （(-)'は符号反転）
5. セマンティクス
   1. S:ℐ→ℬ は双射（全単射）
   2. p(A) = + ならば S(¬A) = S(A)^*
   3. p(1) = I
   4. β(A)：A→S(A) は基底、(S(A), β(A))は基底付き空間になる

ℐ^＊ をクリーネスター（全角文字）として、ℐ^＊の要素をインデックスタイプと呼ぶ。インデックスタイプを [A_i], [B_j] のように書く。インデックスタイプの対 [A_i]→[B_j] をインデックスプロファイルと呼ぶ。

ℬからテンソル積で生成されたベクトル空間の集まりを𝒜とする。𝒜で生成されるVect_Rの充満部分圏を TS(𝒮) として、TS(𝒮) の射をテンソルと呼ぶ。インデックスプロファイルでプロファイリングされる。

その他の概念

• 同伴ユークリッド空間： Xに対する R^A のこと。フレームと逆フレームでXと連絡されている。
• タプル：ユークリッド空間の要素のこと
• 同伴ユークリッド射： (X, a:I→X), (Y, b:J→Y) が基底付きベクトル空間として、a^→;f;b^← を同伴ユークリッド射と呼ぶ。
• 同伴複行列： 同伴ユークリッド射の複行列を、線形写像の同伴複行列と呼ぶ。
• 右上ベンディング：線形写像、ユークリッド射に対する基本操作で、coevを結合すること。
• 左下ベンディング：線形写像、ユークリッド射に対する基本操作で、evを結合すること。
• 縮約：線形写像／ユークリッド射に対して、ベンディングと結合を組み合わせた操作。

次の操作だけが基本操作である。

1. 結合＝フル結合 ;,
2. テンソル積

他の操作は次のようにして実現できる。

1. 部分結合＝恒等との結合とテンソル積
2. 右上ベンディング＝coev〈コエブ〉との部分結合
3. 左下ベンディング＝ev（エブ）との部分結合
4. 双対写像＝右上ベンディングと左下ベンディングの組み合わせ

基本射は、

1. 恒等射＝ワイヤー＝空ノード
2. 選択されたベクトル空間のev, coev ＝ベント／コベント＝キャップ／カップ
3. 単位空間のev, coev。
4. 単位空間の組み込みシャー Ш:I→I^*、逆シャー Ш^-1:I^*→I

単位空間の分岐射は δ_I = coev_I;(IШ^-1)

• λ_I = δ_I
• ρ_I = δ_I
• λ_I, ρ_I, δ_I はすべて等しくて、可逆。

δ^-1 = (IШ);ev_I : II→I はI上の自己内積構造を与える。I^* にも自己内積構造が与えられて、これがスカラーの掛け算。シャーは単位空間とスカラー空間＝単位のEnd空間を同一視する対応を与える。

単位とスカラー、難しい。

• λ_I:II→I
• ρ_I:II→I
• ev_I:I^*I→I
• coev_I:I→II^*
• Ш:I→I^*
• δ_I:I→II
• スカラー s:I→I の（アブラムスキーの）ネーム s^∩:I→II^* と、ネームの縮約演算
• スカラーのネームの余縮約演算 ＝ スカラーの掛け算の複行列表示

単位空間、スカラー射、外部スカラー空間＝End(I)、内部スカラー空間＝I^I＝[I, I] = I^*、単位空間の自己内積、内部スカラー空間の自己内積、スカラー射のネーム、スカラー射のコネーム、ネームの余縮約、コネームの縮約、スカラー射の結合〈合成〉、… などの関係をクリアにしよう。

単位空間の要素という概念はないので、単位空間のベクトル＝スカラー、単位空間のコベクトル＝スカラー、ベクトルとコベクトルの結合＝（外部）掛け算、ネームとネームの余縮約＝内部掛け算、コネームとコネームの縮約＝内部掛け算。