お絵描きで古典テンソル計算：行列だけで出来ること - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編

テンソルを導入しないでどこまで出来るか？と考えた。

ev: A $\otimes$ A^*→K ev': A^* $\otimes$ A→K は、双線形形式として導入できる。
coev: K→A^* $\otimes$ A は正方行列のpointingとして導入できる。ただし、A→B を A^* $\otimes$ B とするか B $\otimes$ A^* とするかは曖昧で、選択に決定的な理由もない。
coevとevを結合するとトレースが作れるが、正方行列のpointingと双線形形式（二次形式）だと結合（合成）が自然には出来ない。ギャップがある。
行列が作るベクトル空間（テンソル空間である）と、二次形式への引数のあいだを繋ぐ工夫が必要。
行列が作るベクトル空間に(i→j)成分だけ1で他は0の行列達からなる基底を入れる。
その基底のベクトル（ベクトルとみなした行列）を分解して二次形式の引数に入れる、とか。
やっぱり不自然か、分解ってのがよくわからんし。
分解つうより、実際は逆にベクトルとコベクトルの“積”で行列の空間の基底を生成する。

やってることは、結局はテンソル積空間の定義に依拠してしまう。

双線形形式を φ:V×W→K とする。テンソル積空間の標準構造射を ι:V×W→V $\otimes$ W とする。ι(v, w) = v $\otimes$ w ∈V $\otimes$ W 。双線形形式φを、テンソル積空間V $\otimes$ W上の線形形式 f:V $\otimes$ W→K の引き戻しで定義したとする。すると、φ = ι^*(f) = ι;f となる。どんな二次形式φも、この形で定義できることがテンソル積空間の定義。

逆に、V $\otimes$ W上の線形形式は、V×W上の双線形形式から作れるし、それで尽くされる。φを素材にfを作るには、V $\otimes$ W上の基底を“分解”してφに渡してやる。基底での値が決まれば線形に拡張できる。

どうやっても結局、潜在的にテンソル積空間の定義を使ってしまうのなら、最初からテンソル積空間を導入したほうがいいのか？なんか工夫があるのか？物理でダイアド積（ダイアディック）とかあったような気がするが、それは工夫かな？

んじゃ、テンソル積を導入するとして、どんな手順か：

V, Wに対して基底 A⊆V, B⊆W を選んで、A×B から自由生成された空間Tを考える。
その基底に関して、BiLinForm(V, W) と LinForm(T) が1:1に対応することを示す。
Lin(T→Z) と BiLin(W, W→Z) も対応することを示す。

しかし、これだと基底を取り替えたもいいことを示す必要がある。でも、それはしょうがないか。

どうも、行列だけに限定するのは難しいようだ。