練習問題候補

特に文言がなくても、「示せ」。

1. 半群Sで、単位元があるなら一意。
2. モノイドMで、x∈M の逆元があるなら一意。
3. Gは群。HがGの部分群であることは、x, y∈H ⇒ xy^-1∈H とも言える。
4. クラインの四元群（four-group）Fを自分自身F上の置換群として表現せよ。
5. クラインの四元群を3次元の回転群に埋め込め。（ヒント： 各軸回りでの180度回転）
6. 回転群への埋め込みを使って行列表示せよ。
7. アーベル群の構造定理から、四元群について何が言えるか？
8. 巡回群C_kの部分群はどのくらいあるか？
9. 2×2の上三角行列は掛け算で群をなすか？
10. 上の群の中心を求めよ。（ヒント： bz + ay = cy + bx が、任意のa, b, cについて成り立つ。）

同値関係：

1. R上の同値関係 |x| = |y| の同値類と商集合は？
2. 上記の同値関係は、足し算と協調＝両立するか？
3. 上記の同値関係は、掛け算と協調＝両立するか？
4. Z×Z_× 上の関係 (a, b)〜(a', b') ⇔ ab' = ba'、これは同値関係か？
5. 上の同値関係の同値類と商集合は？
6. 上の同値関係は、Zの掛け算と協調＝両立するか？