このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/）のデータを移行・保存したものであり、今後（2019年1月以降）更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

代数の教養

その他代数

メモする！ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

一般教養的なもの。

  • 古典的数体論

と書いたこと。

参考文献

入門的なテキスト見つけた、次。

antichap?.pdf のワイルドカード'?'に1から7を入れると、

  1. Chapter 1 Algebraic Numbers and Algebraic Integers
  2. Chapter 2 Ideals
  3. Chapter 3 Ramification Theory
  4. Chapter 4 Ideal Class Group and Units
  5. Chapter 5 p-adic numbers
  6. Chapter 6 Valuations
  7. Chapter 7 p-adic fields

の解説がある。章ごとに別PDFなので便利。代数的整数論という分野かな。具体的な数体〈代数体 | number field〉とそのなかの整数環〈the ring of integers〉の話だろう、たぶん。

次は、ガロア理論の基本定理〈the main theorem of Galois theory〉をA4 3ページで語るという驚異的な圧縮ノート：

丁寧な解説は、

↑のChapter4がガロア対応。

グロタンディーク風なガロア理論なら、

Chapter3が体のガロア理論。他に被覆空間のガロア理論がある。

用語法

ザッと並べて、コメントする。

  1. an extension of a field 体の拡大 // 拡大体とニュアンスがある。
  2. a field extension 体の拡大 // 上と同じ
  3. subfield 部分体 // これは確実に部分集合と誘導された構造
  4. 拡大体 // 「部分体 vs 拡大体」の英語は？ "sub vs super" or "sub vs extended" or "base vs extended"
  5. a morphism of fields 体の（準同型）射 // 体の拡大と同じこと。
  6. a subextension 部分拡大 // [吉田]もこの言葉
  7. algebraic over K K上に代数的
  8. an algebraic element 代数的元 // 多項式の根（零点、解）として定義される。
  9. an algebraically closed extension 代数的閉拡張 // 拡大体〈extended〉が基礎体〈base | ground〉に対して代数的閉体となることかな？ 要調査。
  10. trancendental 超越（的） // 非有限の意味
  11. the evaluation map 評価写像 // K-多元環Aの要素を、K係数多項式環からAへの写像とみなす。
  12. the minimal polynomial of u over K uのK上の最小多項式 // uの定義多項式の標準的なヤツ。
  13. be conjugated 共役である // 2つの元の関係、同じ最小多項式を共有する。
  14. a finite extension 有限（次）拡大 // ベクトル空間としての次元が有限
  15. an algebraic extension 代数（的）拡大 // 代数的元の添加による拡大かな？ 要調査。
  16. degree of an extension 拡大の次数 // 次数と次元は同じ。
  17. a simple extension 単純拡大 // 1個の根の添加による拡大、記法 K(S) が問題。
  18. a splitting field 分解体 // 係数体Kと多項式pに対してその分解体が定義される。
  19. a morphism of/between algebraic extensions 代数（的）拡大の射 // 拡大＝K-体を対象とみての射
  20. E(K) the category of field extensions of K Kの拡大の圏 // [Robalo]の記号と用語
  21. the roots of polynomials in K[X] 多項式の根集合
  22. a sequence of field extensions 拡大の列 // 同義語あり
  23. a tower of field extensions 拡大の塔〈タワー〉 // 同義語
  24. a pair of field extensions 拡大の対〈ペア〉 // 同義語
  25. the multiplicity of a root 根の{多重度 | 重複度}
  26. a simple root 単根
  27. a separable extension 分離拡大 // → 分離拡大 - Wikipedia
  28. a perfect field 完全体 // →純非分離拡大 - Wikipedia, →分離拡大体 [物理のかぎしっぽ]
  29. a normal extension 正規拡大
  30. an intermediate extension 中間拡大 // 「中間体」という言葉との関係？
  31. an intermediate subextension 中間部分拡大 // 同上
  32. the action of a group G on an extension 拡大への群の作用
  33. a Galois extension ガロア拡大
  34. the Galois group of an extension 拡大のガロア群 // ガロア拡大に限るときとどうでないときがある。
  35. the stabilizer 安定化部分群？ // 群作用の用語を調査
  36. irreducible 既約 // 多項式に関する形容詞 →既約多項式 - Wikipedia
  37. a separable closure 分離閉包 // 体Kからその分離閉包が決まる（一意存在）
  38. an absolute Galois group 絶対ガロア群 // 体の分離閉包拡張のガロア群
  39. the classification theorem 分類定理 // ガロア理論の基本定理と同じ
  40. an intermediate Galois subextnsion 中間ガロア部分拡大
  41. a tower of intermediate extensions 中間拡大の塔〈タワー〉 // 塔と列は同じ
  42. conjugacy 共役性、共役であること
  43. conjugate 共役
  44. The {Fundamental | Main} Theorem of Galois Theory ガロア理論の基本定理

気になること：紛らわしい

記号が紛らわしい。

  • K(S) -- K, Lが体で K⊆L、S⊆L を任意の集合として、K(S)は、KにSを添加して作った最小の体。Sが単元集合のときは単純拡大〈simple extension〉。
  • K(X) -- Kを体として、K(X) は、K係数多項式環K[X]の分数体〈its field of fractions〉。
  • p(X) -- p(X)は、K係数多項式環K[X]の要素。

[吉田]では、拡張を体の射としている。が、τ:K→F in Field を、Kを固定した文脈でFτ と書く。Kを動かすと記法が分かりにくくなる。まー、F/Kよりはマシ。τ:K→F でいいんじゃないかと思う。

[Robalo]でのアルチンの補題〈Altin's Lemma〉は次。

  • Gは有限群として、Gが体の自己同型としてLに作用している。そのとき体の拡張 L/Fix(G) は有限拡大となる。拡大の次元（次数）は、群の位数（基数）で抑えられる。[L:Fix(G)] ≦ |G|。

次元、次数、位数、基数、濃度などの同意語も気になるが、[吉田]によると、

本質的には同じだろうが、表現が微妙に違う。[吉田]の記法は短すぎて分かりにくい：

  • (Fτ, F'τ') は、体Kを固定してのK-体の圏Field[K]のホムセット Field[K](τ, τ')。固定した基礎体Kは暗黙に仮定される。
  • (Fτ) は、自己射のホムセット Field[K](τ, τ')。エンドセットEnd(τ)であるが、自己射が必ず可逆射となるので、オートセットAut(τ)にもなる。
  • FGは、群Gが体Fに作用しているときの不動部分体〈fixed subfield〉。
  • Lの部分体Mの包含で与えられる拡張は L/M と書く。
  • 体の拡張の次数＝次元は [Fτ] と書く。
  • 集合Xの基数（濃度）は |X| と書く。

気になること：用語法

  • 群Gが体Fに作用しているとき、Gで動かい部分体の呼び名が何か？ fixed field が使われているが、固定体、不動体？
  • [吉田]によると、部分拡張とは、拡張 τ:K→F があるとき、像τ(K)のスーパーセットであるFの部分体Lが包含で定義する拡張。部分拡張は、体の射としての拡張であるが、Fの部分体で与えられるのでより具体的。
  • ガロア対応の文脈では、Fの部分体の全体SubField(F)や、Gの部分群の全体SubGroup(G)の束構造を出したほうがいいかも知れない。
  • 「拡大の塔」はあまり意味がないのではないか。単に射の列とか、射の（2つの射）への分解で済む。
  • 中間体〈intermediate field〉という言葉は使わなくても済むようだ。部分拡大のときに出てくる部分体が中間体。中間拡大〈intermediate field extensions〉も中間体と同義なら不要な言葉。
  • 万有体を導入すると、万有体が圏の終対象になるかも知れない。
  • ガロア拡大の定義は、分離的かつ正規でいいのか？ 非有限なガロア拡大もあるようだ。

[追記]

アルティンのガロア理論の翻訳は文庫本になっている。

これはまったく読んだことがないな。最近は文庫とはいえ千円以上（￥1296）するんだな。原文ペーパーバックのほうが安い（￥926）。

[/追記]
[追記]

ガロア拡大 - Wikipediaによると、fixed fieldは固定体と訳すようだ。他に使われている言葉は、

  • 代数拡大
  • 正規拡大
  • 分離拡大
  • 正規分離拡大＝ガロア拡大
  • （体の）自己同型群

このWikipediaエントリーは色々と有用そう。

[/追記]