このブログは、旧・はてなダイアリー「檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編」（http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/）のデータを移行・保存したものであり、今後（2019年1月以降）更新の予定はありません。

今後の更新は、新しいブログ http://m-hiyama-memo.hatenablog.com/ で行います。

ヤコビ微分圏の概要

CADG

メモする！ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

当面はヤコビ微分圏の定義をなんとか再現する。

目的

デカルト微分圏や接圏（接構造を持つ圏）は、出来るだけ仮定を減らして理論を展開するが、むしろ仮定を増やして、微積分の教科書に載っているような展開を再現したい。

通常の微積分（の微分）の公理化を与え、圏論的構造を明らかにする。

線形代数＝テンソル閉半線形圏

双積を持つ圏を (C, \oplus, 0, α, λ, ρ, π1, π2, κ1, κ1) とする。κは入射を表す記号。双積（デカルト積かつデカルト余積）から、対称σ、対角δと余対角∇、終射!と始射θが定義できる。(δ, !)が可換コモノイド・モダリティ、(∇, θ)が可換モノイド・モダリティを定義する。

可換モノイド・モダリティ(∇, θ)から、双積を持つ圏にはモノイド豊饒化構造が入り、半加法圏の構造を持つ。半加法構造を半線形構造とも呼び、双積を持つ圏を半線形圏〈semi-linear category〉とも呼ぶ。半線形圏では、かなりの程度線形代数が出来る。

圏Cのモノイド閉構造を (C, \otimes, K, α, λ, ρ, ▷, Λ) とする。双積を持つ圏Cが双積とは別な（実際は同じでもいいいが）モノイド積\otimesを持つとき、二番目のモノイド積を（便宜上）テンソル積と呼ぶことにする。テンソル積の律子は、双積の律子とは区別する必要があるので、\otimes, K, α', λ', ρ' のように書くべき。

双積を持つ圏がテンソル積に対して閉構造を持つとき、テンソル閉半線形圏〈tensorially-closed semi-linear category〉と呼ぶ。双対を持つなら、双積を持つコンパクト閉圏になる。確か、コンパクト閉圏が直積を持てば、必然的に双積になる。

双対がないテンソル閉だけならどうなんだろう？

部分半線形デカルト圏

圏Cがデカルト圏であって、部分圏Lが指定されている。

  • Lは、テンソル閉な半線形圏である。
  • Lの双積は、Cの直積と一致する。
  • コンストラクタ L:|C|→|L| と、射族 ιA:A→L(A) がある。
  • f:A×V→W （V, W∈|L|） が部分線形（偏線形）という概念がある。

このとき、部分圏Lを含めたCを、部分半線形デカルト圏〈partially semi-linear cartesian category〉、または偏半線形デカルト圏と呼ぶ。

部分半線形デカルト圏（偏半線形デカルト圏）は、そのなかで線形代数ができるようなデカルト圏である。特に、部分半線形射（偏半線形射）の概念が重要。

微分オペレータの公理

微分オペレータには次の種類がある。

  1. 全微分オペレータ total differential operator
  2. ヤコビ微分オペレータ Jacobi differential operator
  3. 接微分オペレータ tangent differential operator

通常のCADGでは全微分を定式化する。ここでは、ヤコビ微分が中心だが、どれを基本にしても相互に定義可能。

  • f:A→B に対して、J[f]:A→L(A)▷L(B) がヤコビ微分、これを公理化する。
  • f:A→B に対して、D[f]:L(A)×A→L(B) が全微分、これはヤコビ微分の反カリー化として定義する。
  • 接微分も定義する。

絵算では、全微分オペレータをオペレータボックスで表して、その左カリー化（ベント）としてヤコビ微分を表すのがよさそう。

微分オペレータの公理はどのオペレータに対しても（本質的には）同じだが、次のように分類される。

  1. 基本的な関数（射）の微分を指定する公理
  2. 結合と直積に関する微分公式
  3. 接方向微分公式
  4. ヘッシアンの対称性（ヤングの定理）

接方向微分公式とヘッシアンの対称性は2階微分に関する公理で、「接方向微分」と「ヘッシアン」を導入しないと公理を述べることができない。他に、全微分を方向微分（偏微分）の和に展開する全微分公式があるが、これは定理。

2階微分に関する接方向微分とヘッシアンの性質は、あまり馴染みがないので、この2つの公式・性質を理解するのが肝だと思う。

方向微分と接方向微分

全微分 Df = D[f] :L(A)×A→L(B) に対して、適当な線形写像 j:X→L(A) を前結合したものを方向微分〈directional differential | directional derivative〉と呼ぶ。偏微分と方向微分は区別しないで、同義語とする。

全微分に対する方向微分をカリー化したものを方向ヤコビ微分〈directional Jacobi differential〉と呼ぶ。

接方向微分の公式は次のように書ける。

  • Jt[Df]a = Jfa

Dfは、L(A)×A→L(B) の形なので、これの全微分は L(A)方向（第一変数方向、接変数方向）の方向微分（偏微分）を考えることができる。接方向へのヤコビ方向微分（ヤコビ偏微分）をJtと書いている。tはtangent directionから。

Jt[Df]aは、点aにおけるDfの接方向微分係数となる。接方向の微分係数は、ヤコビ微分係数で与えられる、というのが接方向微分公式。2階微分の情報の一部は1階微分から得られるので、接方向には新しい情報がないことを意味している。必要な高階微分情報は底方向〈base direction〉の微分から得られる。

ヘッシアン

f:A→B に対して、ヤコビ微分は Jf:A→L(A)▷L(B) となる。Jfは再びCの射なので、これをヤコビ微分することができて、

  • J[Jf]:A→L(A)▷(L(A)▷L(B))

となる。一般に、U▷(V▷W) \stackrel{\sim}{=} (U\otimesV)▷W なので、この同型を後結合すると、

  • A→(L(A)\otimesL(A))▷L(B)

ができる。これをfのヘッシアン〈Hessian〉と呼ぶ。ヘッシアンはL(B)に値をとる2次形式である。fのヘッシアンをH(f)またはHfと書く。

ヘッシアンが2次形式として対称であることを主張するのが対称性の公理で、これも2階微分の性質を記述する。

ファー・ディ・ブルーノの公式

ヤコビ微分圏の公理の確認のために、ファー・ディ・ブルーノ〈Faà di Bruno〉の公式を証明できるかが試金石になる。ファー・ディ・ブルーノ公式は複雑だが、公理が正しくセットされていれば、組み合わせ的・帰納的な方法で証明できるはず。

別な観点からのファー・ディ・ブルーノ