テンソル圏

EGNO本 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編の記事で引用した69ページの論説 http://inmabb.criba.edu.ar/revuma/pdf/v51n1/v51n1a07.pdf

• Title: TENSOR CATEGORIES: A SELECTIVE GUIDED TOUR
• Author: MICHAEL MUGER

この論説だと、

‘monoidal categories’ or ‘tensor categories’. (We use these synonymously.)

つまり、テンソル圏＝モノイド圏 となっている。EGNO本のテンソル圏はもっと特化した概念だと思う。EGNO本を参照している短い論文 http://arxiv.org/pdf/1406.4204v2.pdf のほうから引用する。

出てくる言葉は、

1. K-線形圏（K-linear category）、Kはしばしば省略する。
2. 半単純線形圏（semisimple linear category）
3. 有限線形圏（finite linear category）

まず、K-線形圏の定義は：

• アーベル圏であって、Vect_K豊饒構造を持ち、その2つの構造が整合的である。

アーベル圏ではあるが、Vect_Kという具体的な圏を使って計算できる。この段階ではテンソル積がないが、道具として使うVect_Kにはテンソル積があるし、豊饒圏の定義の段階でVect_Kのテンソル積を本質的に使っている。

K-線形関手は、

• アーベル圏のあいだの加法関手であって、Vect_K豊饒関手であるもの。

これで、K-LinCatという圏の圏を作れる。

圏の半単純性と有限性を定義するために：

1. 圏の対象が単純対象だとは、非自明な部分対象を持たないこと。
2. 圏の対象Xが長さ有限の対象だとは、X = X₀←X₁← ... という部分対象の真に単調な鎖が有限で終わること。
3. 圏の対象Xに対して、射影的対象Pがあって、エピ射 p:P→X があるとき、これを射影的カバーと呼ぶ。

圏の特性：線形圏が半単純（semisimple）だとは、

1. すべての対象が単純対象の直和として分裂（split）する。
2. 対象が長さ有限なら、このときの直和は有限直和である。

単純性は対象の性質だが、半単純性は圏の性質。

次に線形圏が有限（finite）だとは

1. すべてのホム空間が有限次元ベクトル空間
2. すべての対象が有限の長さを持つ。
3. すべての対象が射影的カバーを持つ。
4. 単純対象を同型類は有限個しかない。

有限線形圏の定義は、多元環と加群の理論を背景にしたものらしい。次が主定理：

• 有限K-線形圏は、有限次元K-多元環上の有限次元加群の圏に同値

線形圏が線形モノイド圏だとは、

1. モノイド積構造を持つ。
2. モノイド積がホム空間の双線形写像となる。

Vect_Kにより双線形写像が定義できるので、それを使ってK-線形モノイド積を定義している。K-線形モノイド積＝K-テンソル積。

K-テンソル積を持つ圏がテンソル圏かというと、まだ条件があって、双対性を必要とする。任意の対象に左双対と右双対があって、それが一致するという条件（剛性条件）。

結局、K-テンソル圏Cの定義には色々と条件が付いて：

1. Cはアーベル圏である。
2. CはVect_Kで豊穣化されている。
3. CはK-テンソル積（K-線形なモノイド積）を持つ。
4. Cは剛性条件を満たす（左右対称な双対性を持つ）。

EGNO流では、既存のよく知られている具体的な圏Vect_K、FdVect_Kの性質を使って、テンソル積と双対を持つK-線形圏を調べる、というアプローチだ。

[追記]人名のMICHAELは、forvoに無闇とたくさんある。

英語だと「マイケル」（例：マイケル・ジョーダン）、ドイツ語だと「ミヒャエル」（例：ミヒャエル・エンデ）、フランス語だと「ミケール」（例：ミケール（ミカエルとも）・ジャレル）に聞こえる。

MICHAEL MUGERは、オランダのナイメーヘン（Nijmegen）の大学にいるらしい。デンマーク語だとmugerを「ムワ」と発音する。けど、正式にはMügerとダイアクリティカルマークが付いているから違うかも。わからん。[/追記]