随伴作用、随伴表現

まず、群Gの内部自己同型。a∈G を固定して、

• g∈G |→ aga^-1

として、この写像をΦ_a:G→G とする。Φ_aは群の圏の射になり

• Φ:G→Aut(G)

という写像になる。Aut(G) は Iso_Grp(G, G) のこと。

上記のΦ、またはΦ_aを内部自己同型と呼ぶが、随伴作用（adjoint action）と呼ぶことがある。この随伴作用は、群Gが集合Gに作用している群作用の文脈での作用。左作用や右作用もあるが、内部自己同型＝随伴作用の特徴は群の自己同型になっているところ。

Gがリー群のときは、Φ_a:G→G がなめらか写像となり、微分可能。単位のところでの接写像を取ると、(TΦ_a)(e): (TG)_e→(TG)_e。(TG)_eはリー代数だから、(TΦ_a)(e):g→g というリー代数の同型写像が決まる。これをAd_aとかAd(a)とか書く。

• Ad_a:g→g

a∈G なので、Ad:G→Aut(g) となる。Aut(g)はリー代数の圏でのHom_LieAlg(g, g)。Gはリー群なので、リー群のリー代数の圏への表現になっている。

一方で、ad_X:g→g をX∈gに対して、

• ad_X(Y) := [X, Y]

で定義すると、ad:g→Aut(g) となり、リー代数を自分自身（台線形空間）を表現空間とする標準括弧積リー代数への表現となる。これも随伴作用とか随伴表現とか呼ぶ。

つまり3種類の表現があり、それらを全て随伴{作用, 表現}と呼ぶ。

1. 群Gを、群の圏GrpのなかのAut(G)へ表現する。Gは表現集合となるが、群構造も考慮していることになる。
2. リー群Gを、ベクトル空間の圏VectのなかのAut(g)へ表現する。表現ベクトル空間gは、Gのリー代数の台ベクトル空間。
3. リー代数gを、ベクトル空間の圏VectのなかのAut(g)へ表現する。Aut(g)（つうかEnd(g)）のりー代数構造は、結合代数の交換子積。

いずれも、自分の代数構造を自分自身（の台）を表現オブジェクト（被作用オブジェクト）として表現する点は共通しているが、自分の代数構造が、群、リー群、リー代数の別があり、表現オブジェクト（被作用オブジェクト）も群、ベクトル空間の別がある。