モナド
[追記]そんな簡単な話ではなかった！ これはダメだ。[/追記]モノイドMがあって、Mの反対モノイドMopとMのあいだの双対性があるとする。MMop→I として余単位＝evが定義されているとする。そのとき、左Mop反応を持つ入れ替え加群から、両側加群を構成できる。…
プレ順序集合に対する加群概念一般論と特殊ケース - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 次に順序集合。これはたぶん、たぶんだけど、A上の順序構造とB上の順序構造があるとき、A×B上の二項関係を使って、A+Bに順序構造を入れる話だと思う。 だいたいあってる…
一般論と特殊ケース - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 「モノイド接続」って言葉がイマイチなのは承知。なんかいい言葉がないか？ モノイド・アダプター（monoid adapter）はどうかな。モナドの変換（transformer）があるが、広義で解釈すると、モナドを受…
一般的な記述： 2-圏におけるモノイドが2つあって、それを繋ぐモノイド接続（monoid connector）が1つあるとする。このとき、モノイド接続は、加群の圏のあいだの関手を誘導する。この一般的な定理を、「モノイド接続の持ち上げ定理」と呼ぶことにする。モノ…
だいぶ分かってきた気がするのだけど、なんかパシッと分かった気がしない。フラストレーションがたまる状態に置かれている。スッキリしない、イライラする。キーワードは 二重圏、三重圏 コボルディズム、TQFT 豊饒プロ関手、圏的双加群 仮想二重圏＝fc複圏 …
オペレーション＝オペラッド射＝複射 をテンプレートと考えて、文法規則をテンプレートにより扱う。 形式言語 テンプレート ガード文字記号 定数ワイヤーラベル 文字記号（終端） 定数（ソリッド）ボックスラベル 変数記号（非終端） 穴ボックスラベル 規則…
ベルトロン・ピーチ（Bertalan Pecsi, おそらくハンガリー人）が森田コンテキストに関わる色々なことをやっている。 Title: Bridges and Profunctor Author: Bertalan Pecsi URL: http://www.renyi.hu/~aladar/theses.pdf ↑は概要だけで中身はない。 Title: …
まず、ラックス関手（lax functor）は、モナドの一般化になる。簡単な説明は、 http://www.paolocapriotti.com/blog/2015/06/22/monads-as-lax-functors/index.html ちなみに、↑のブログは参考になる。記事の一覧は、 http://www.paolocapriotti.com/blog/ar…
インスティチューションの指標の圏があって、Σ, Φが指標として、基本指標射 σ:Σ→Φ だけでんなくて、モナドFが働いた FΦ を考えて、クライスリ射 Σ→FΦ を使うことは非常に多い。つまり、最初の指標圏をクライスリ圏に拡張して使う。一方で、柱体とホモトピー…
Webではないが、次のようなものがあるらしい。1974だ。http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166864108002496 に記述がある。 Monadic functors and convexity, T. Swirszcz, Bul. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 22 (1974)…
項集合代数（termset algebra）＝コゥゼン代数 古い順： Σコゥゼン σ-順序代数 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 コゥゼン代数再び - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 コゥゼン代数もっと - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 項と項集合 - 檜山正幸のキマ…
http://hal.inria.fr/docs/00/70/20/65/PDF/segal.pdf より、 1. annihilation lookup - update: reading the value of a location loc and then updating the location loc with the obtained value is just like doing nothing. 2. interaction lookup - l…
L:C→C を自己関手として、D(A, B) := C(L(A), L(B)) として圏Dを定義する。これをLで修飾された（あるいはシフトされた）Cと考える。自己関手と自然変換も同様にL修飾を考えて、結果的にモナドをL修飾する。[追記 date="翌日"]ちょっと違うかも。[/追記]
Category theory: a programming language-oriented introduction Pierre-Louis Curien October 19, 2008 http://www.pps.univ-paris-diderot.fr/~mellies/mpri/mpri-ens/articles/curien-category-theory.pdf The Joy of String Diagrams Pierre-Louis Curi…
右カン拡張を関手の指数とみなして、カン対応（Kan bijection）を中心にしてラムダ計算をする場合、その舞台となるのは、2-圏だろう。横結合を非対称テンソル積とみなす。テンソル積のオペランドが、dom/codを持つので、自由にテンソルできるわけではない。…
circ-Kleisli： http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/searchdiary?word=circ-Kleisli 作用乗法： http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/searchdiary?word=%BA%EE%CD%D1%BE%E8%CB%A1 両モナド： http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama-memo/searchdiary?word=%CE%B…
Cが圏のとき、Cを多元環や多元半環と関連付ける方法。Kは体とする。 CのK-線形化とは、ホムセットC(A, B)から自由Kベクトル空間を作って、圏の結合も双線形にする。すると、K-ベクトル空間で豊饒化された圏が出来る。 CのK-圏多元環（圏環、圏代数）とは、Mo…
"Generic Models for Computational Effect"でJohn Powerが指摘してること： J:C0→C1 という関手で、identity-on-object なものは、[→, Set]-豊穣圏の対象とみなせる。→ は、 {・→・} という圏。V-豊穣圏を作るには、Vが対称モノイド圏である必要があるが、[…
必要だと思ってことが、「強度対、両側強度、可換性」に書いてあった。 強度対、両側強度、可換性 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 可換強度、強モナドについては、 Circ-Kleisli構成のもっといい定式化 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編 強モナドって…
C[M] を、モノイドMによる更新モナドのクライスリ圏として、 C[M + N] = C[M]*C [N] という指数法則は成立しそう。ただし、形がそれらしくなるように、モノイドの自由積をプラス記号で、圏の自由積をアスタリスクで書いている。モノイドの自由積、加群の自由…
M, Nなどはモノイドとして、モノイダルスタンピングモナドを更新モナドとも呼ぶことにする。Catyの更新ファシリティ（updates, usesで宣言される）はすべて更新モナド。Mによる更新モナドのCベースのクライスリ圏を C[M] と書くことにすると： C[1] = C C[M×…
安易に「入れ子の加群」とか言っていたが、少なくとも二種類ある。MとNがモノイドでSが集合のとき： SはM作用を持つ。 MはN作用を持つ。 このとき、入れ子の加群だが、「MへのN作用」が問題。 Mを単なる集合（忘却する）とみての作用 Mをモノイドとみての作用…
6月4日からの週の「今週見つけた圏」は、一般化クライスリ拡張となんか関係あるのか？
一般化クライスリ構成を探して - 檜山正幸のキマイラ飼育記 に書いた件、次のような例を考えていた。kは体として、集合Aに対してk(A)は、なんらかのk関数環にkベクトル空間構造を入れたもの。Mがモノイドのときは、k(M)はモノイド環構造を持つ、k(M)→k(M)(×)…
あ、そうだ。Nを名前の集合として、TreeRecN(V) というモナドがあるんだった。Nは固定するとして、TreeRecN(-) が集合圏の上の自己関手で、モナドの台。単位も乗法も言われてみればあたりまえのもの。CatyScriptで書けるだろう。
記法としては、通常の集合論／圏論の記法よりは、CatyScriptの構文に近い書き方をする。が、最初は一般的かつ抽象的な状況設定、すぐ後で具体的なスクリプトで書く。Cは、なんか具体的な対称モノイド圏だとする。Cは集合圏の部分圏と仮定してもいい（別にな…
"Descent for Monads" Pieter Hofstra and Federico De Marchi て論文。33ページあったんで、2upで印刷したら字が小さくてヨメン、という不始末。 http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/16/24/16-24abs.html pdfは、http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/16/24/1…
undef-safeなブロックというのを考えていた。Undef例外とundef値を統合して透過的かつ安全に使える構文。だが難しかった。考えてみたら、クライスリ圏のあいだの関手を構成する問題。実際に問題の関手を構成すると、適当なdomain（領域理論のdomain）のstric…
[追記]これは、 本編のコメント http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20111107#c に対して書いたもの。[/追記]C, D などは単なる圏、M, N などはモノイド圏を表すと約束する。モノイド圏のモノイド積と単位対象は、□, I を主に使う。以下の議論では、大きな圏を…
Catまたはその部分圏への関手をインデックス付き圏と呼び、多変数関手のときは多重インデックス付き圏と呼ぶことにする。アリティが (D-, C+) の関手とは、Dに関して反変、Cに関して共変な多変数関手のこと。Prof(C, C)内にモノイドがあれば、アリティが (C-…
