ラックス関手

まず、ラックス関手（lax functor）は、モナドの一般化になる。簡単な説明は、

• http://www.paolocapriotti.com/blog/2015/06/22/monads-as-lax-functors/index.html

ちなみに、↑のブログは参考になる。記事の一覧は、

• http://www.paolocapriotti.com/blog/archives/

ラックス関手とモナドの関係は；
1を単元集合を自明な2-圏だと思ったモノだとして、M:1→Cat というラックス関手があれば、これがモナドになる。モナドのあいだの射の定義が一般化できる。異なる圏C, D上のモナドをモナドの準同型で結べる。

1を別な2-圏にすれば、これまたモナドの一般化になる。

• Title: MORITA CONTEXTS AS LAX FUNCTORS
• Author: STEPHEN LACK
• URL: http://arxiv.org/pdf/1209.4436.pdf
• Pages: 18p.

↑だと、2頂点完全グラフを2-圏だと思ったものを2とすると、2からCatへのラックス関手の話。これが森田コンテキストなんだそうだ。モナドの一般化が森田理論になるのか？

• Title: Enhanced 2-categories and limits for lax morphisms
• Authors: Stephen Lack, Michael Shulman
• URL: http://arxiv.org/abs/1104.2111
• Pages: 77p.

↑は2-モナドの理論。2-モナドの代数として様々な圏が定義できる。ローヴェル・セオリーの一般化には2-モナドが必要だろう。しかし、77p.は長いなーー。http://ncatlab.org/nlab/show/lax-idempotent%202-monad を眺めたりするとといいかな。

次は、2-圏の教科書と言える。

• Title: A 2-CATEGORIES COMPANION
• Author: STEPHEN LACK
• URL: http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/Incoming/Lack/companion.pdf
• Pages: 70p.

長い。もっと短いのは、

• Title: 2-Categories
• Author: John Powe
• URL: http://www.brics.dk/NS/98/7/BRICS-NS-98-7.pdf
• Pages: 21p.

これなら読みきれるかな。

2-圏の応用としては次が面白い。

• Title: Simulations as Homotopies
• Authors: Kathryn Hess, Paul-Eugene Parent, Andrew Tonks, Krzysztof Worytkiewicz
• URL: http://www-home.math.uwo.ca/~kworytki/getco2.pdf
• Pages: 27p.

↑ホモトピーの概念も使ってる。

• Title: ON EXTENSIONS OF LAX MONADS
• Authors: MARIA MANUEL CLEMENTINO AND DIRK HOFMANN
• URL: http://www.mat.uc.pt/~mmc/preprints/extensions.pdf
• Pages: 16p.

↑は、集合圏のモナドを関係圏でラックス化する話だが、モノイダル・スタンピングをラックス化すると、非決定性オートマトンになるから、その文脈で読むといいかも。

• Title: LAX KLEISLI-VALUED PRESHEAVES AND COALGEBRAIC WEAK BISIMULATION
• Author: TOMASZ BRENGOS
• URL: http://arxiv.org/pdf/1404.5267.pdf
• Pages: 20p

↑も、モナドの拡張の話。色々なモナドの例がある。

ラベル付き遷移系のシミュレーションがラックス関手だ、という話がある。↓

• Title: Relational Presheaves as Labelled Transition Systems
• Author: Pawel Sobocinski
• URL: https://coalg.org/cmcs12/papers/00010040.pdf
• Pages: 11p

同じ著者の、

• Title: Relational Presheaves, Change of Base and Weak Simulation
• Author: Pawel Sobocinski
• URL: http://users.ecs.soton.ac.uk/ps/papers/jcss.pdf
• Pages: 19p.

次↓は加群概念を拡張しているようだ。

• Title: COMPOSITION OF MODULES FOR LAX FUNCTORS
• Author: ROBERT PARE
• URL: http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/27/16/27-16.pdf
• Pages: 53p.

Pareって人に興味が湧いた。Grandisとの共著↓

• Title: AN INTRODUCTION TO MULTIPLE CATEGORIES (ON WEAK AND LAX MULTIPLE CATEGORIES, I)
• Ahtors: MARCO GRANDIS AND ROBERT PARE
• URL: http://www.mscs.dal.ca/~pare/Mlc1.pdf
• Pages: 43p.

• Title: LIMITS IN MULTIPLE CATEGORIES (ON WEAK AND LAX MULTIPLE CATEGORIES, II)
• Authors: MARCO GRANDIS AND ROBERT PARE
• URL: http://www.mscs.dal.ca/~pare/Mlc2.pdf
• Pages: 29p.

豊饒圏とラックス関手の関係はどうなっている？まずは、

• A calculus on lax functors
• Hugo V. Bacard
• http://arxiv.org/pdf/1307.7216.pdf
• Pages: 20p.

The theory of enriched categories can be viewed, in a certain way, as a small part of the theory of lax functors.

• Title: ENRICHED CATEGORIES AS A FREE COCOMPLETION
• Authors: RICHARD GARNER AND MICHAEL SHULMAN
• URL: http://comp.mq.edu.au/~rgarner/Papers/Free-cocomp.pdf
• Pages: 78p.

↑も、豊饒圏とラックス関手のヒントになるか？ これのスライドは、

• http://www.math.ias.edu/~mshulman/papers/cfapaafcc.pdf

物理っぽい応用。短いノート↓

• Title: Note on Lax Functors and Bimodules
• Author: Urs Schreiber
• URL: http://www.math.uni-hamburg.de/home/schreiber/LaxFunc.pdf
• Pages: 7p.