一般化クライスリ構成の例

一般化クライスリ構成を探して - 檜山正幸のキマイラ飼育記 に書いた件、次のような例を考えていた。

kは体として、集合Aに対してk(A)は、なんらかのk関数環にkベクトル空間構造を入れたもの。Mがモノイドのときは、k(M)はモノイド環構造を持つ、k(M)→k(M)(×)k(M) という余代数構造を持つはず。

モノイドMに対して、F(A) := k(M×A)、G(B) := k(B) とすると、k(M×A)→k(B) という射が一般化クライスリ射。もしうまく一般化クライスリ圏が構成できれば、これはオートマトンの線形代数版になるはず。形式言語理論の定理、例えばマイヒル／ネロードとかを定義できないだろうか？