加群概念

プレ順序集合に対する加群概念

一般論と特殊ケース - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

次に順序集合。これはたぶん、たぶんだけど、A上の順序構造とB上の順序構造があるとき、A×B上の二項関係を使って、A+Bに順序構造を入れる話だと思う。

だいたいあってるが微妙に違う。プレ順序集合上の加群概念は、

• ≦ が集合S上のプレ順序
• 〜 が集合Sと集合Tの関係（ヘテロ二項関係）
• s≦s' かつ s'〜t ならば、s〜t

以上が右加群。左加群にしたいなら、二項関係を T, S の順で考える。

距離空間（一般化距離空間）の場合の加群は、

• dが集合S上の距離（非対称、非分離的）
• d'が集合Sと集合Tのあいだのヘテロ距離 d'(s, t)
• d(s, s') + d(s', t) ≧ d(s, t) 三角不等式

T自体は距離空間ではないが、Tの各点tとS上の点との距離は定義されている。上記の定義で右と左を取り替えれば左加群となる。

加群は予想以上にバリエーションがあって、

1. 左加群
2. 右加群
3. 両側加群（左かつ右かつ左右が結合的）
4. 同時両側加群または公平両側加群
5. 入れ替え加群（swap module）または切り替え加群（switch module）

crossed moduleは既に他の意味を持つので、入れ替えとか切り替えとかにした。入れ替え加群は、右M加群に左N反応が付いたもの、または左M加群に右N反応が付いたものだ。その意味では、responsive module（反応付き加群、反応加群）とか言うといいかもしれない。

モノイド・アダプターは入れ替え加群＝反応加群となる。プレ順序集合をモノイドとしての入れ替え加群は、模倣と非常に近い、順序版の模倣だ。となると、オートマトンの模倣も入れ替え加群により定義できるのかもしれない。

入れ替え加群はまた、ベックの分配法則にも近い。左加群と右加群を入れ替える「ほんとの入れ替え」とも関係しそうだ。

オートマトン＝加群、バイオートマトン＝両側加群（双加群）、トランスデューサー＝入れ替え加群なのは間違いない。

トランスデューサー＝入れ替え加群であること、プレ順序の入れ替え加群が模倣になっていること、プロアロー・イクイップメントの2セルを使って模倣を定義できること、これらの事実のあいだには関係があるはずだ。