プロ関手圏のモノイドと多重インデックス付き圏

Catまたはその部分圏への関手をインデックス付き圏と呼び、多変数関手のときは多重インデックス付き圏と呼ぶことにする。アリティが (D-, C+) の関手とは、Dに関して反変、Cに関して共変な多変数関手のこと。

Prof(C, C)内にモノイドがあれば、アリティが (C-, C+) であるインデックス付き圏を定義するだろう。しかし、必ずしもアリティが (C-, C+) ではない二重インデックス付き圏はどうなる？

二重インデックス付き圏、あるいはより一般の多重インデックス付き圏とは、Prof(C, C)モノイドの拡張と言えるのだろうか？ それとも、Profをベースに多重インデックス付き圏を説明できるのだろうか。