圏の線形化／代数化、加群概念、豊饒圏の強モナド拡張

Cが圏のとき、Cを多元環や多元半環と関連付ける方法。Kは体とする。

• CのK-線形化とは、ホムセットC(A, B)から自由Kベクトル空間を作って、圏の結合も双線形にする。すると、K-ベクトル空間で豊饒化された圏が出来る。
• CのK-圏多元環（圏環、圏代数）とは、Mor(C）から自由Kベクトル空間を作って、（結合できないときは0にして）圏の結合を掛け算として導入する。K-多元環ができる。
• ピーター・セリンガーのND(C)。ホムセットC(A, B)のベキ集合を作って、D(A, B) = Pow(C(A, B)) として圏を作る。
• Cの圏半多元環。Pow(Mor(C)) に圏の結合から掛け算を入れる。足し算は集合の合併。アルファベットΣからの言語代数と似ている。

K-線形化とセリンガーのND構成は、V-豊穣圏の強モナド拡張として定式化できる。Vがモノイド圏で、FがV上の強モナドとする。

CがV-豊穣圏で、C(A, B) = X, C(B, C) = Y, C(B, C) = Y として、c:X×Y→Z を結合射とする。Fが強モナドのとき、

• F(X)×F(Y) → F(F(X)×Y) → F(F(X×Y)) → F(X×Y) - F(m)→F(Z)

として、c':F(X)×F(Y)→F(Z) が定義できる。D(A, B) := F(C(A, B)) として定義したDにV-豊穣圏の構造が入る。クライスリ圏やアイレンベルク／ムーア圏とどう関係する？

それと、圏Cに対して、[C, Set]、[C, Ab]、[C, CMon]、[C, CMonZ]、[C, IdemCMon] などを調べる問題がある。CMonは可換モノイド、CMonZは零付き可換モノイド、IdemCMonはベキ等可換モノイドの圏。