一般論と特殊ケース

一般的な記述： 2-圏におけるモノイドが2つあって、それを繋ぐモノイド接続（monoid connector）が1つあるとする。このとき、モノイド接続は、加群の圏のあいだの関手を誘導する。この一般的な定理を、「モノイド接続の持ち上げ定理」と呼ぶことにする。モノイドのあいだの対応が、加群の圏に持ち上がるから。

「モノイド接続」って言葉がイマイチなのは承知。なんかいい言葉がないか？

まず、集合圏で「モノイド接続の持ち上げ定理」を解釈すると、オートマトンとトランスデューサーの理論となるはず。オートマトンにトランスデューサーをかぶせて新しいオートマトンが作れる、という話。

次に順序集合。これはたぶん、たぶんだけど、A上の順序構造とB上の順序構造があるとき、A×B上の二項関係を使って、A+Bに順序構造を入れる話だと思う。

モナドと代数の話。これが一番標準的で、モナドT on C とモナドT' on C' があるとき、モナドの（ある種の）準同型により、アイレンベルグ／ムーア圏のあいだの関手が誘導される。

一般的な定理をそのまま一般的に述べれば、モナドT上の右加群の圏をMod-T(D, C)とする。Dは加群（＝関手）の定義域となる圏。T'をC'上のモナドとすると、Mod-T(D, C) → Mod-T'(D, C') という関手が誘導される。

ミソは、どの例でも同じ証明が出来ること。証明は同じだから、必要なのはそれぞれの特殊ケースごとに解釈をすること。