モナドの多次元化としての森田コンテキストと圏のコボルディズム

どうも、ラックス関手を用いて考えると次のようなことらしい。

次元	ラックス関手の域	ラックス関手の余域	概念
1	自明2-圏	2-圏 Cat	モナド
2	2対象の余離散2-圏	2-圏 Cat	森田コンテキスト

それは、STEPHEN LACKの http://arxiv.org/pdf/1209.4436.pdf に書いてある（はず）。

次の論文に森田コンテキストの具体的な記述がある。ラックス関手は使っていない。

• Title: The Eilenberg-Moore category and a Beck-type theorem for a Morita context
• Autors: Tomasz Brzeziński, Adrian Vazquez Marquez, Joost Vercruysse
• URL: http://arxiv.org/abs/0811.4304
• Pages: 33p.

6組として定義している。

1. 圏X上のモナドA
2. 圏Y上のモナドB
3. A-B双加群T（双代数という用語を使っているが、双加群だ）
4. B-A双加群T^{^}
5. ev: T^{^}*T→A というA値の評価射
6. ev^{^}: T*T^{^}→B というB値の評価射

元の論文では、順序は全部反図式順だったので、逆転させた。

随伴との関係は：

次元	随伴	代数系	代数（加群）の圏
1	普通の随伴対	モナドとコモナド	アイレンベルグ／ムーア代数とその圏
2	二重随伴	森田コンテキスト	森田コンテキストの（森田）加群の圏

二重随伴（double adjunction）というのは、圏の圏のスパンであって両足が左随伴を持つものと定義される。これは、圏の圏の余スパンであって両余足が右随伴を持つものとしても同じだ。

となると、余スパンの余足を始境界／終境界の埋め込みとして、余スパンのボディをコボルディズムのボディと見ることができる。つまり、森田コンテキストは圏のコボルディズムに対応する代数系だとみなせるのではないか。

圏のコボルディズム＝境界付き圏 という概念は次に書いてある。

• 2006-07-03 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

次の論文にブリッジという概念が出てくる。

• Title: On Morita Contexts in Bicategories
• Author: Bertalan Pecsi
• URL: http://renyi.hu/~aladar/MrtCtx.pdf

ブリッジは圏のコボルディズムに近いと思う。プロ関手は、ブリッジの特殊なものとして定義されている。